Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante e igual a 21^{\circ} \mathrm{C}. No instante da descoberta a temperatura do corpo foi medida e era de 29^{\circ} \mathrm{C}. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do corpo era de 27^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que no momento da morte (\mathrm{t}=0) a temperatura do corpo era de 37^{\circ} \mathrm{C}. Determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho para a gente não se perder):
  • Temperatura constante da sala: \,21^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do corpo no instante da descoberta: \,29^\circ\mathrm{C}.
  • Uma hora após a descoberta, temperatura do corpo: \,27^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do corpo no momento da morte (instante \,t=0): \,37^\circ\mathrm{C}.
    A pergunta é: quantas horas se passaram entre a morte ( t=0) e a descoberta do corpo? (ou seja, encontrar o tempo \,t_d em horas).

Passo 2

Vamos usar a lei que descreve como a temperatura de um corpo muda quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. A fórmula padrão (solução da equação diferencial da lei do resfriamento) é:
T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{-k t},
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no instante t (horas),
  • T_{\text{amb}} é a temperatura do ambiente (constante),
  • T_0 é a temperatura inicial do corpo no instante t=0,
  • k>0 é a constante de resfriamento (depende do corpo e do ambiente),
  • e é a base dos logaritmos naturais.
    Vou explicar cada parte: a diferença T_0-T_{\text{amb}} é quanto o corpo está acima do ambiente no início; o fator e^{-k t} decai exponencialmente com o tempo, reduzindo essa diferença até que T(t) tenda para T_{\text{amb}}.

Passo 3

Agora identifico as quantidades do nosso problema:
T_{\text{amb}}=21^\circ\mathrm{C},\qquad T_0=37^\circ\mathrm{C}.
Então a solução geral para este caso fica:
T(t)=21+(37-21)\,e^{-k t}=21+16\,e^{-k t}.

Passo 4

No instante da descoberta (vou chamar esse tempo de \,t_d), a temperatura medida foi 29^\circ\mathrm{C}. Substituindo na fórmula:
29=21+16\,e^{-k t_d}.
Isolando o exponencial:
29-21=16\,e^{-k t_d}\quad\Rightarrow\quad 8=16\,e^{-k t_d}\quad\Rightarrow\quad e^{-k t_d}=\tfrac{8}{16}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Uma hora depois da descoberta, ou seja no tempo \,t=t_d+1, a temperatura era 27^\circ\mathrm{C}. Substituindo:
27=21+16\,e^{-k (t_d+1)}.
Isolando novamente:
27-21=16\,e^{-k t_d}e^{-k}\quad\Rightarrow\quad 6=16\,(e^{-k t_d})\,e^{-k}.
Mas já sabemos de \,e^{-k t_d}=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
6=16\cdot\tfrac{1}{2}\cdot e^{-k}=8\,e^{-k}.
Logo:
e^{-k}=\tfrac{6}{8}=\tfrac{3}{4}.

Passo 6

A partir de e^{-k}=\tfrac{3}{4} podemos encontrar k. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
-k=\ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\quad\Rightarrow\quad k=-\ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right).
Comentário rápido sobre \ln: é o logaritmo natural; aqui usamos \ln porque o exponencial é base e.

Passo 7

Voltamos à relação que deu e^{-k t_d}=\tfrac{1}{2}. Tomando log natural:
-k t_d=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad t_d=\frac{\ln 2}{k}.
Substituindo k=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right):
t_d=\frac{\ln 2}{\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)}.

Passo 8

Agora calculamos numericamente. Usando valores dos logaritmos naturais:
\ln 2\approx 0,693147\quad\text{e}\quad \ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0,287682.
Portanto
t_d\approx \frac{0,693147}{0,287682}\approx 2,409.
Ou seja, aproximadamente \,2,409 horas.

Passo 9

Convertendo a parte decimal para minutos e segundos:
0,409\\ \text{hora}\times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}}\approx 24,54\\ \text{minutos},
ou seja cerca de 24 minutos e
0,54\\ \text{minuto}\times 60\\ \frac{\text{s}}{\text{min}}\approx 32,4\\ \text{segundos},
arredondando: 24 minutos e 33 segundos (aprox.).

Resposta

\approx 2,41 horas (ou seja, cerca de 2 horas, 24 minutos e 33 segundos)

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