Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante e igual a
. No instante da descoberta a temperatura do corpo foi medida e era de
. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do corpo era de
. Suponha que no momento da morte
a temperatura do corpo era de
. Determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho para a gente não se perder):
- Temperatura constante da sala:
. - Temperatura do corpo no instante da descoberta:
. - Uma hora após a descoberta, temperatura do corpo:
. - Temperatura do corpo no momento da morte (instante
): .
A pergunta é: quantas horas se passaram entre a morte () e a descoberta do corpo? (ou seja, encontrar o tempo em horas).
Passo 2
Vamos usar a lei que descreve como a temperatura de um corpo muda quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. A fórmula padrão (solução da equação diferencial da lei do resfriamento) é:
onde:
-
é a temperatura do corpo no instante (horas), -
é a temperatura do ambiente (constante), -
é a temperatura inicial do corpo no instante , -
é a constante de resfriamento (depende do corpo e do ambiente), -
é a base dos logaritmos naturais.
Vou explicar cada parte: a diferençaé quanto o corpo está acima do ambiente no início; o fator decai exponencialmente com o tempo, reduzindo essa diferença até que tenda para .
Passo 3
Agora identifico as quantidades do nosso problema:
Então a solução geral para este caso fica:
Passo 4
No instante da descoberta (vou chamar esse tempo de
), a temperatura medida foi
. Substituindo na fórmula:
Isolando o exponencial:
Passo 5
Uma hora depois da descoberta, ou seja no tempo
, a temperatura era
. Substituindo:
Isolando novamente:
Mas já sabemos de
. Substituindo:
Logo:
Passo 6
A partir de
podemos encontrar
. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Comentário rápido sobre
: é o logaritmo natural; aqui usamos
porque o exponencial é base
.
Passo 7
Voltamos à relação que deu
. Tomando log natural:
Substituindo
:
Passo 8
Agora calculamos numericamente. Usando valores dos logaritmos naturais:
Portanto
Ou seja, aproximadamente
horas.
Passo 9
Convertendo a parte decimal para minutos e segundos:
ou seja cerca de
minutos e
arredondando:
minutos e
segundos (aprox.).