Considere a equação:
x y^{\prime}+y=2 x
a) Mostre que (I) é uma equação linear diferencial de primeira ordem:
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=2
b) Verifique, pela regra do produto, que:
x y^{\prime}+y=(x y)^{\prime}
c) Substitua (III) em (II) e verifique que:
(x y)^{\prime}=2 x \quad \text { (IV) }
d) Integre (IV) em ambos os lados para obter:
x y=x^{2}+C \text { ou } y=x+\frac{C}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x y^{\prime}+y=2 x.
As perguntas são:
a) Mostrar que essa equação pode ser escrita como
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=2.
b) Verificar, usando a regra do produto, que
x y^{\prime}+y=(x y)^{\prime}.
c) Substituir a igualdade do item (b) na forma do item (a) e mostrar que
(x y)^{\prime}=2 x.
d) Integrar a igualdade do item (c) e obter a solução geral, isto é
x y=x^{2}+C \quad\text{ou}\quad y=x+\frac{C}{x}.
Informações relevantes dadas: a equação original \,x y^{\prime}+y=2 x e as igualdades que devemos demonstrar/usar. (Observação implícita: para dividir por x precisamos assumir x\neq 0.)

Passo 2

Partes (a) e comentário sobre domínio — transformar a equação para a forma linear padrão.
Começamos da equação dada:
x y^{\prime}+y=2 x.
Para obter uma equação do tipo y'+p(x)y=q(x) dividimos todos os termos por x. Isso é válido quando x\neq 0. Dividindo por x obtemos:
\frac{x y^{\prime}}{x}+\frac{y}{x}=\frac{2 x}{x}.
Simplificando cada termo chega-se a:
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=2.
Agora uma pequena explicação didática: uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando pode ser escrita na forma
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. Aqui identificamos
p(x)=\frac{1}{x}\quad\text{e}\quad q(x)=2.
Isso responde (a): a equação foi colocada na forma linear padrão.

Passo 3

Parte (b) — verificar a identidade usando a regra do produto.
A regra do produto diz: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis então
(u v)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}.
Escolhemos u(x)=x e v(x)=y(x). Então u^{\prime}(x)=1. Aplicando a regra do produto:
(x y)^{\prime}=1\cdot y + x\cdot y^{\prime}=y + x y^{\prime}.
Rearranjando os termos (colocando x y^{\prime} primeiro) obtemos
x y^{\prime}+y=(x y)^{\prime},
o que verifica (b).

Passo 4

Parte (c) — substituir o resultado do passo anterior na equação reescrita.
Voltando à equação reescrita do Passo 2 (ou à equação original), temos
x y^{\prime}+y=2x.
Pelo Passo 3 sabemos que o lado esquerdo é (x y)^{\prime}. Substituindo obtemos
(x y)^{\prime}=2x,
que é exatamente a igualdade pedida em (IV). Assim (c) está verificado.

Passo 5

Parte (d) — integrar ambos os lados e resolver para y.
Agora integramos ambos os lados da igualdade
(x y)^{\prime}=2x
com respeito a x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Assim:
\int (x y)^{\prime}\,dx=\int 2x\,dx.
No lado esquerdo a integral de (x y)^{\prime} é x y (até uma constante). No lado direito calculamos a integral de 2x:
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos
x y = x^{2} + C.

Passo 6

Isolar y e comentar sobre a constante e domínio.
Dividindo por x (novamente assumindo x\neq 0) obtemos a solução geral para y:
y = \frac{x^{2}+C}{x} = x + \frac{C}{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real (constante de integração) que determina a família de soluções. Observação: x=0 é um ponto singular porque dividimos por x; a solução geral acima é válida para x\neq 0. Se for necessário considerar x=0 separadamente, devemos checar possibilidades de extensões contínuas, mas para a forma dada a solução geral é
y=x+\frac{C}{x},\quad x\neq 0.

Resposta

a) \;y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=2.
b) \;x y^{\prime}+y=(x y)^{\prime}.
c) \;(x y)^{\prime}=2x.
d) \;x y=x^{2}+C ou \;y=x+\dfrac{C}{x}.

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