Considere a equação:
a) Mostre que (I) é uma equação linear diferencial de primeira ordem:
b) Verifique, pela regra do produto, que:
c) Substitua (III) em (II) e verifique que:
d) Integre (IV) em ambos os lados para obter:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
As perguntas são:
a) Mostrar que essa equação pode ser escrita como
a) Mostrar que essa equação pode ser escrita como
b) Verificar, usando a regra do produto, que
c) Substituir a igualdade do item (b) na forma do item (a) e mostrar que
d) Integrar a igualdade do item (c) e obter a solução geral, isto é
Informações relevantes dadas: a equação original
e as igualdades que devemos demonstrar/usar. (Observação implícita: para dividir por
precisamos assumir
.)
Passo 2
Partes (a) e comentário sobre domínio — transformar a equação para a forma linear padrão.
Começamos da equação dada:
Para obter uma equação do tipo
dividimos todos os termos por
. Isso é válido quando
. Dividindo por
obtemos:
Simplificando cada termo chega-se a:
Agora uma pequena explicação didática: uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando pode ser escrita na forma
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui identificamos
Isso responde (a): a equação foi colocada na forma linear padrão.
Passo 3
Parte (b) — verificar a identidade usando a regra do produto.
A regra do produto diz: se
e
são funções diferenciáveis então
Escolhemos
e
. Então
. Aplicando a regra do produto:
Rearranjando os termos (colocando
primeiro) obtemos
o que verifica (b).
Passo 4
Parte (c) — substituir o resultado do passo anterior na equação reescrita.
Voltando à equação reescrita do Passo 2 (ou à equação original), temos
Pelo Passo 3 sabemos que o lado esquerdo é
. Substituindo obtemos
que é exatamente a igualdade pedida em (IV). Assim (c) está verificado.
Passo 5
Parte (d) — integrar ambos os lados e resolver para
.
Agora integramos ambos os lados da igualdade
com respeito a
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Assim:
No lado esquerdo a integral de
é
(até uma constante). No lado direito calculamos a integral de
:
Incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Isolar
e comentar sobre a constante e domínio.
Dividindo por
(novamente assumindo
) obtemos a solução geral para
:
Aqui
é uma constante arbitrária real (constante de integração) que determina a família de soluções. Observação:
é um ponto singular porque dividimos por
; a solução geral acima é válida para
. Se for necessário considerar
separadamente, devemos checar possibilidades de extensões contínuas, mas para a forma dada a solução geral é
Resposta
a)
b)
c)
d) ou
b)
c)
d)