Utilizando o método das frações parciais, calcule:
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-1\bigr)}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, que requer (1) fatorar o denominador, (2) escrever a fração como soma de termos simples, (3) determinar coeficientes por comparação, e (4) integrar cada termo usando
\displaystyle \int \frac{dx}{x-a} = \ln\bigl|x-a\bigr| + C.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x\bigl(x^{2}-1\bigr) = x\,(x-1)(x+1).
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}.

Passo 3

Somando as frações do lado direito, obtemos
\frac{A(x-1)(x+1) + B\,x(x+1) + C\,x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)}.
Então o numerador deve satisfazer
A(x^{2}-1) + B(x^{2}+x) + C(x^{2}-x) = 1.
Isso gera o sistema de coeficientes em x^{2},x^{1},x^{0}\): \[\begin{cases} A + B + C = 0,\\\ B - C = 0,\\\\ -\,A = 1. \end{cases}
Daí A=-1\], \(B=C=\tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \Bigl(-\frac{1}{x} + \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}\Bigr)\,dx = -\int \frac{dx}{x} + \frac12\int \frac{dx}{x-1} + \frac12\int \frac{dx}{x+1}.
Integrando cada termo:
-\ln\bigl|x\bigr| + \frac12 \ln\bigl|x-1\bigr| + \frac12 \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Passo 5

Agrupando os logaritmos, escrevemos
-\,\ln|x| + \tfrac12\ln|x-1| + \tfrac12\ln|x+1| = \frac12\ln\!\Bigl|\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}\Bigr| = \frac12\ln\!\Bigl|\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\Bigr|.

Resposta

\int \frac{dx}{x(x^{2}-1)} = -\ln\bigl|x\bigr| + \tfrac12\ln\bigl|x-1\bigr| + \tfrac12\ln\bigl|x+1\bigr| + C
ou, de forma condensada,
\frac12\ln\!\Bigl|\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\Bigr| + C.

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