Use substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais indefinidas.
\int \frac{d x}{\left(4 x^{2}-9\right)^{3 / 2}}\'

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo necessário é reconhecer uma expressão da forma \bigl(2x\bigr)^{2}-3^{2} e usar a substituição que transforme essa diferença de quadrados em tangente ou secante.

Passo 2

Observe que
4x^{2}-9 = (2x)^{2}-3^{2}\,.
Para eliminar a raiz de (2x)^{2}-3^{2}, fazemos a substituição
\frac{2x}{3} = \operatorname{sec}\theta,
ou seja,
x = \frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta \quad\text{e}\quad dx = \frac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Com essa substituição, a expressão dentro da raiz fica
4x^{2}-9 = 9\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta - 1\bigr) =9\tan^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad \bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2} = (9\tan^{2}\theta)^{3/2} = 27\,\tan^{3}\theta.
Logo a integral transforma-se em
\int \frac{dx}{\bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2}} = \int \frac{\tfrac{3}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{27\,\tan^{3}\theta} = \frac{1}{18}\int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{18}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 4

Note que
\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = \cot\theta\,\csc\theta,
cuja primitiva é -\csc\theta. Assim,
\frac{1}{18}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = \frac{1}{18}\bigl(-\csc\theta\bigr)+C = -\frac{1}{18}\csc\theta + C.

Passo 5

Falta voltar para a variável x. Da substituição \operatorname{sec}\theta = \tfrac{2x}{3} temos
\cos\theta = \frac{3}{2x}, \quad \sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} = \frac{\sqrt{4x^{2}-9}}{2x} \quad\Longrightarrow\quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-9}}.
Substituindo em -\tfrac{1}{18}\csc\theta resulta
-\frac{1}{18}\cdot\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-9}} = -\frac{x}{9\sqrt{4x^{2}-9}} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{\bigl(4x^{2}-9\bigr)^{3/2}} = -\frac{x}{9\sqrt{4x^{2}-9}} + C.

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