Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade (lambida) embutida em um cilindro dielétrico de raio r, densidade superficial de cargas (-o) e ( escalar) e permeabilidade z^.
Obtenha o campo elétrico dentro e fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora de um cilindro dielétrico. Esse cilindro tem uma linha de carga infinita no meio com uma densidade λ, além de uma superfície carregada com densidade σ. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa da eletrostática, para resolver isso. Vamos precisar entender conceitos como densidade de carga, superfície dielétrica e a própria Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Para problemas com simetria cilíndrica, o melhor é usar um cilindro imaginário que coaxe com o cilindro real. Vamos considerar dois casos: quando o raio da nossa superfície gaussiana (vamos chamar de $ r $) é menor que o raio do cilindro dielétrico e quando é maior.

Passo 3

Vamos achar o campo elétrico para $ r $ menor que o raio do cilindro ($ r < a $). Nesse caso, o campo elétrico é gerado apenas pela linha de carga no centro, porque estamos dentro do dielétrico e não há carga superficial incluída.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon
Onde $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana. Para $ r < a $, $ Q_{enc} = \lambda \cdot L $, onde $ L $ é o comprimento do cilindro gaussiano.

Passo 5

O campo elétrico $ \vec{E} $ é radial e uniforme ao longo da superfície gaussiana. A área da superfície lateral do cilindro gaussiano é $ 2\pi r L $. Então:
E

Passo 6

Agora, simplificando a equação para encontrar $ E $:
E
Então, dentro do cilindro dielétrico, o campo elétrico depende do inverso do raio $ r $.

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico para $ r > a $, ou seja, fora do cilindro dielétrico. Nesse caso, além da linha de carga, também temos a carga superficial do cilindro que contribui para o campo elétrico.

Passo 8

A carga total dentro da superfície gaussiana agora é a soma das cargas linear e superficial. Se o cilindro tem raio $ a $ e densidade superficial $ \sigma $, a carga superficial total é $ \sigma \cdot 2\pi a L $. Então:
a

Passo 9

Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = lambda L + sigma cdot 2pi a Lvarepsilon

Passo 10

Simplificando para encontrar $ E $:
E
Ou seja, fora do cilindro, o campo elétrico é a soma do campo devido à linha de carga e ao campo devido à carga superficial.

Resposta

Dentro do cilindro dielétrico ($ r < a $):
r < a
Fora do cilindro dielétrico ($ r > a $):
E = lambda2pi varepsilon r

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