Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas.
integral0^1 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^1 x,(x^2+1)^3,dx usando o método de substituição. É conteúdo de cálculo integral, e vamos precisar usar a substituição u = x^2+1 para simplificar.

Passo 2

A ideia da substituição é trocar a variável x por u, de modo que o integrando fique mais simples. Definimos
$$
u = x^{2} + 1 u = x^2 + 1ãçã rac{d
u}{dx} = 2x \quad\Longrightarrow\quad x,dx = \frac{1}{2},d
u$$

Passo 3

Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando x = 0, temos u = 0^2 + 1 = 1. Quando x = 1, temos u = 1^2 + 1 = 2. Assim, a integral original vira
integral0^1 x,(x^2+1)^3,dx = integralu=1^u=2 (u)^3 cdot 12,d u

Passo 4

Fatoramos 1/2 para fora e integramos em u:
integral1^2 u^3 cdot 12,d u = 12 integral1^2 u^3,d u
Agora usamos a regra de potência: 12 integral1^2 u^3,d u = 12 l[ u^44 r]1^2 = 18 l(u^4r)|1^2 . Logo,

Passo 5

Finalmente, substituímos os limites em u^4:
18 l(2^4 - 1^4r) = 18 (16 - 1) = 158
Pronto! A integral vale 15/8.

Resposta

15/8

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