Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função: 
 , considerando 
 .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. O objetivo aqui é encontrar a raiz da função 
 . Isso significa que queremos descobrir o valor de 
  que faz 
 . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções. Nosso ponto de partida é 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton-Raphson:
Isso significa que, para cada iteração, a gente atualiza o valor de 
  usando a função 
  e sua derivada 
 .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de 
 :
A derivada 
  é:
Isso nos dá a inclinação da função em qualquer ponto 
 .
Passo 4
Agora, vamos começar com 
 . Vamos calcular 
  e 
 :
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Então, a próxima estimativa para a raiz é 
 .
Passo 6
Vamos repetir o processo com 
 :
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula:
Então, a próxima estimativa é 
 .
Passo 8
Vamos continuar com 
 :
Passo 9
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 10
Repetindo com 
 :
Passo 11
Aplicando a fórmula:
Passo 12
Vamos continuar iterando até que a diferença entre as estimativas seja suficientemente pequena. Após algumas iterações, chegamos a uma estimativa estável:
Resposta
A raiz aproximada da função 
  pelo método de Newton-Raphson é 
 .