Utilizando o método de variação dos parâmetros, determine uma solução particular da seguinte E.D.O não-homogênea:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=(x-1) e^-2 x
Lembre-se: yp=u1 y1+u2 y2, onde y1 e y2 são componentes de yh=c1 y1+c2 y2 solução da E.D.O Homogênea, sendo que u1=integral W1W d x e u2=integral W2W d x, onde
W=det(ll y1 & y2 y1^prime & y2^prime ), W1=det(cc 0 & y2 g(x) & y2^prime ), W2=det(ll y1 & 0 y1^prime & g(x) )

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a E.D.O. não-homogênea y''+4y'+4y=(x-1)e^-2x usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar: encontrar a solução homogênea yh, escolher duas funções fundamentais y1, y2, calcular o Wronskiano W e os determinantes W1, W2, depois obter u1, u2 por integração e montar yp=u1y1+u2y2.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea y''+4y'+4y=0. O polinômio característico é r^2+4r+4=(r+2)^2=0, raiz dupla r=-2. Logo, a solução homogênea é
yh=c1e^-2x+c2x e^-2x
e escolhemos como base fundamental y1=e^-2x e y2=x e^-2x.

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano
W=y1 & y2 y1' & y2'=e^-2xl(e^-2x(1-2x)r)-x e^-2x(-2e^-2x)=e^-4x

Passo 4

A seguir, definimos g(x)=(x-1)e^-2x e montamos
W1=0 & y2 g(x) & y2'=0cdot y2'-y2,g(x)=-x(x-1)e^-4x,
W2=y1 & 0 y1' & g(x)=y1,g(x)-0cdot y1'= (x-1)e^-4x

Passo 5

Agora calculamos
u1=integral W1W,dx=integral -x(x-1),dx= -integral(x^2-x),dx=-x^33+x^22,
u2=integral W2W,dx=integral (x-1),dx=x^22-x

Passo 6

Por fim, obtemos a solução particular
yp=u1y1+u2y2=l(-x^33+x^22r)e^-2x+l(x^22-xr)x e^-2x,
e, ao simplificar,
yp=l(x^36-x^22r)e^-2x

Resposta

yp=l(tfracx^36-tfracx^22r)e^-2x

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