Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos das funções, limitadas por suas respectivas restrições:
f(x, y)=4 x^3+y^2, com restrição 2 x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y)=4x^3+y^2
sujeito à restrição
2x^2+y^2=1
O método a usar são os multiplicadores de Lagrange, isto é, vamos resolver
nabla f = lambda,nabla g,
onde g(x,y)=2x^2+y^2-1.

Passo 2

Escrevendo as equações de Lagrange, temos
partial fpartial x=12x^2, partial fpartial y=2y,
partial gpartial x=4x, partial gpartial y=2y,
e as equações
12x^2 = lambda,(4x),
2y = lambda,(2y),
juntamente com a restrição
2x^2+y^2=1

Passo 3

Da segunda equação 2y=2lambda y surgem duas possibilidades:
  1. yneq0 implica lambda=1.
  2. y=0.

Passo 4

Caso lambda=1 (logo yneq0):
a) Da equação 12x^2=4x vem
12x^2-4x=0 Longrightarrow 4x(3x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=tfrac13
b) Se x=0, da restrição 2cdot0^2+y^2=1 segue y=pm1. Pontos (0,pm1) e
f(0,pm1)=1
c) Se x=tfrac13, da restrição
2l(tfrac13r)^2+y^2=1 Longrightarrow tfrac29+y^2=1 Longrightarrow y^2=tfrac79,
então y=pmraiz73 e
fl(tfrac13,pmtfracraiz73r) =4l(tfrac13r)^3+tfrac79 =tfrac427+tfrac2127 =tfrac2527approx0,926

Passo 5

Caso y=0: da restrição 2x^2=1 segue x=pmtfrac1raiz2. Nos dois pontos
fl(tfrac1raiz2,0r) =4l(tfrac1raiz2r)^3 =tfrac42raiz2 =tfrac2raiz2 =raiz2approx1,414,
fl(-tfrac1raiz2,0r) =4l(-tfrac1raiz2r)^3 =-raiz2approx-1,414

Passo 6

Comparando os valores de f em todos os pontos críticos, vemos que o maior valor é
raiz2 em l(tfrac1raiz2,0r)
e o menor valor é
-raiz2 em l(-tfrac1raiz2,0r).

Resposta

Máximo de f é raiz2 em l(tfrac1raiz2,0r).
Mínimo de f é -raiz2 em l(-tfrac1raiz2,0r).

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