Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos das funções, limitadas por suas respectivas restrições:
, com restrição
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeito à restrição
O método a usar são os multiplicadores de Lagrange, isto é, vamos resolver
onde
.
Passo 2
Escrevendo as equações de Lagrange, temos
e as equações
juntamente com a restrição
Passo 3
Da segunda equação
surgem duas possibilidades:
-
implica . -
.
Passo 4
Caso
(logo
):
a) Da equação vem
a) Da equação
b) Se
, da restrição
segue
. Pontos
e
c) Se
, da restrição
então
e
Passo 5
Caso
: da restrição
segue
. Nos dois pontos
Passo 6
Comparando os valores de
em todos os pontos críticos, vemos que o maior valor é
em
e o menor valor é
em
.
e o menor valor é
Resposta
Máximo de
é
em
.
Mínimo de é
em
.
Mínimo de