Seja
uma função de classe
, o campo vetorial
:
definido para todo
da seguinte maneira:
chama-se o Hessiano de
. Verifique que (Hessef)§ é um operador linear auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função de classe
,
e define o operador Hessiano em
por
Precisamos mostrar duas coisas:
.
é linear em
.
.
é auto-adjunto, ou seja, para todo
Vamos usar que em
a conexão de Levi-Civita tem coeficientes de Christoffel nulos e o teorema de Schwarz garante que derivadas parciais mistas se comutam.
Passo 2
(Prova da linearidade)
Por definição
Por definição
é a derivada covariante da
-forma
na direção
. A derivada covariante é linear em seu “argumento direcional”, ou seja, para quaisquer
e escalares
vale
Logo
é um operador linear de
em si.
Passo 3
(Prova da auto-adjunção via matriz do Hessiano)
Em coordenadas cartesianas e com base canônica ortonormal, a componente
do vetor
é
Em coordenadas cartesianas
Assim a matriz associada é
. Como
é
, pelo teorema de Schwarz
logo a matriz do Hessiano é simétrica. Num espaço com produto interno euclidiano, operador cuja matriz é simétrica é exatamente um operador auto-adjunto, i.e.,
Resposta
O operador
é linear e sua matriz em coordenadas canônicas é simétrica por comutação de derivadas parciais, logo ele é auto-adjunto.