Seja f: U subset R uma função de classe C^2, o campo vetorial (Hess f)(p) : R^n R^n definido para todo v in R^n da seguinte maneira:
( Hessef )(p) v=nablav nabla f
chama-se o Hessiano de f. Verifique que (Hessef)§ é um operador linear auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função de classe C^2,
f:UsubsetR^ntoR,
e define o operador Hessiano em pin U por
(Hess,f)(p)colonR^ntoR^n, vmapstonablavnabla f
Precisamos mostrar duas coisas:
1. (Hess,f)(p) é linear em v.
2. (Hess,f)(p) é auto-adjunto, ou seja, para todo v,winR^n
llang<=(Hess,f)(p),v,;wrrang<= = llang<= v,;(Hess,f)(p),wrrang<=
Vamos usar que em R^n a conexão de Levi-Civita tem coeficientes de Christoffel nulos e o teorema de Schwarz garante que derivadas parciais mistas se comutam.

Passo 2

(Prova da linearidade)
Por definição
(Hess,f)(p),v=nablavnabla f
é a derivada covariante da 1-forma nabla f na direção v. A derivada covariante é linear em seu “argumento direcional”, ou seja, para quaisquer v1,v2inR^n e escalares a,binR vale
nablaa,v1+b,v2nabla f = a,nablav1nabla f ;+; b,nablav2nabla f
Logo (Hess,f)(p) é um operador linear de R^n em si.

Passo 3

(Prova da auto-adjunção via matriz do Hessiano)
Em coordenadas cartesianas x^1,dots,x^n e com base canônica ortonormal, a componente i do vetor (Hess,f)(p),v é
l[(Hess,f)(p),vr]^i =sumj=1^n v^j,partialpartial x^jl(partiali fr)(p) =sumj=1^n v^j,partial^2 fpartial x^jpartial x^i(p)
Assim a matriz associada é l[partial^2f/partial x^jpartial x^i(p)r]i,j. Como f é C^2, pelo teorema de Schwarz
partial^2 fpartial x^jpartial x^i(p) = partial^2 fpartial x^ipartial x^j(p),
logo a matriz do Hessiano é simétrica. Num espaço com produto interno euclidiano, operador cuja matriz é simétrica é exatamente um operador auto-adjunto, i.e.,
lang<=Hess,f(p),v,;wrang<= = v^T,(Hess,f(p)),w = w^T,(Hess,f(p)),v = lang<= v,;Hess,f(p),wrang<=

Resposta

O operador (Hess,f)(p) é linear e sua matriz em coordenadas canônicas é simétrica por comutação de derivadas parciais, logo ele é auto-adjunto.

Exercícios relacionados