Utilizando a notação de componentes e juntamente com os teoremas integrais, prove as seguintes identidades vetorias:
\oint_{\mathrm{S}} f \nabla g \cdot \mathbf{n} d S=\iiint_{\mathrm{V}}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\right) d V

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\oint_{\mathrm{S}} f \nabla g \cdot \mathbf{n}\, dS=\iiint_{\mathrm{V}}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\right)\, d V.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): \mathrm{V} é um domínio volumétrico com fronteira suave \mathrm{S}=\partial\mathrm{V}; \mathbf{n} é o vetor normal unitário exterior à superfície \mathrm{S}; f e g são funções suficientemente lisas (por exemplo C^2 em \overline{\mathrm{V}}) para que possamos aplicar teoremas integrais e permutar derivadas e integrais. Não se pede nada mais além de provar a igualdade indicada.

Passo 2

Vou usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) — aqui apenas declaro a fórmula sem demonstrá-la — que afirma, para qualquer campo vetorial suave \mathbf{F},
\oint_{\mathrm{S}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = \iiint_{\mathrm{V}} \nabla\cdot\mathbf{F}\, dV.
Observe que essa é uma ferramenta padrão para converter integrais de superfície em integrais de volume. A ideia será escolher um campo \mathbf{F} adequado de modo que \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=f\nabla g\cdot\mathbf{n} na superfície.

Passo 3

Escolho o campo vetorial
\mathbf{F} = f\,\nabla g.
Esse campo tem exatamente a forma cujo produto escalar com \mathbf{n} aparece na integral de superfície do enunciado:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}.
Portanto, aplicando o Teorema da Divergência teremos
\oint_{\mathrm{S}} f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\, dS = \iiint_{\mathrm{V}} \nabla\cdot\big(f\,\nabla g\big)\, dV.
O resto da prova consiste em expandir \nabla\cdot\big(f\,\nabla g\big) e identificar as parcelas desejadas.

Passo 4

Agora trabalho com notação de componentes (índices). Denoto por \partial_i a derivada parcial em relação a x_i (ou seja \partial_i=\dfrac{\partial}{\partial x_i}). As componentes do gradiente são (\nabla g)_i=\partial_i g. A divergência do produto f\,\nabla g é, em componentes,
\nabla\cdot\big(f\,\nabla g\big) = \partial_i\big(f\,\partial_i g\big),
onde aqui uso a convenção de soma de Einstein: soma sobre i=1,2,3. Vou desenvolver a derivada do produto usando a regra do produto para derivadas parciais:
\partial_i\big(f\,\partial_i g\big) = (\partial_i f)\,(\partial_i g) + f\,(\partial_i\partial_i g).

Passo 5

Interpreto cada termo da expansão. Primeiro, (\partial_i f)\,(\partial_i g) é exatamente o produto escalar dos gradientes:
(\partial_i f)\,(\partial_i g) = \nabla f\cdot\nabla g.
Segundo, \partial_i\partial_i g é a soma das segundas derivadas parciais de g, isto é a Laplaciana de g:
\partial_i\partial_i g = \nabla^2 g.
Portanto, juntando os termos,
\nabla\cdot\big(f\,\nabla g\big) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^2 g.

Passo 6

Substituo essa expressão na integral de volume obtida pelo Teorema da Divergência no Passo 3:
\iiint_{\mathrm{V}} \nabla\cdot\big(f\,\nabla g\big)\, dV = \iiint_{\mathrm{V}} \big(\nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^2 g\big)\, dV.
Reorganizando os termos (soma dentro da integral) obtemos exatamente
\iiint_{\mathrm{V}} \big(f\,\nabla^2 g + \nabla f\cdot\nabla g\big)\, dV.

Passo 7

Concluo a igualdade combinando os resultados: pelo Passo 3 a integral de superfície é igual à integral de divergência; pelo Passo 6 a integral de divergência se expande nas duas parcelas pedidas. Portanto a identidade está provada, sob a hipótese de regularidade de f e g (por exemplo f,g\in C^2(\overline{\mathrm{V}})) e com \mathbf{n} sendo o normal exterior à superfície \mathrm{S}=\partial\mathrm{V}.

Resposta

\oint_{\mathrm{S}} f \nabla g \cdot \mathbf{n}\, d S=\iiint_{\mathrm{V}}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\right)\, d V

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