Mostrar que a transformação para um sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com os eixos principais do tensor é ortogonal.
Informações relevantes: a matriz é simétrica (ou seja, T^T=T), o que costuma implicar propriedades sobre autovalores e autovetores (vamos explorar isso nos próximos passos). A resolução começará calculando o polinômio característico e os vetores próprios.]
Passo 2
O que significa achar autovalores e autovetores? Definição e método prático:
Uma autovetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0} e autovalor \lambda satisfazem
T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Para encontrar os \lambda resolvemos o polinômio característico
\det(T-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Vou calcular \det(T-\lambda I) explicitamente, passo a passo, e então obter as \lambda. Depois, para cada \lambda resolvo (T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para obter os autovetores.
Sist. linear (T-I)(x,y,z)^T=(0,0,0)^T dá as equações
0=0,\qquad y+3z=0,\qquad 3y+3z=0.
Da segunda e terceira equações vem y+3z=0 e multiplicando por 3 dá 3y+9z=0; comparar com 3y+3z=0 implica 6z=0\Rightarrow z=0\Rightarrow y=0. Logo y=z=0 e x é livre. Posso escolher x=1. Um autovetor associado é
\mathbf{v}_1=(1,0,0).
(Esta escolha faz sentido também porque a primeira linha/coluna isolada com 1 dá T(1,0,0)^T=(1,0,0)^T.)]
Passo 6
Autovetores para \lambda_2=3+\sqrt{10} e \lambda_3=3-\sqrt{10}.
Como a matriz é em bloco (primeira coord separada), procuramos autovetores da forma (0,y,z).
Para \lambda=\lambda_2=3+\sqrt{10} resolvo o sistema (2-\lambda)y+3z=0 e 3y+(4-\lambda)z=0. Basta usar a primeira equação (a segunda é proporcional se \lambda é raiz do polinômio característico). A primeira dá
Logo \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são mutuamente ortogonais.
Passo 8
Transformação para os eixos principais e ortogonalidade:
Normalizando cada autovetor \mathbf{u}_i=\mathbf{v}_i/\|\mathbf{v}_i\| obtemos um conjunto ortonormal de vetores.
Monte a matriz de mudança de base P=[\mathbf{u}_1\\ \mathbf{u}_2\\ \mathbf{u}_3] (colunas são os autovetores normalizados). Como as colunas são ortonormais, P é ortogonal, isto é,
P^T P = I \quad\text{e}\quad P^{-1}=P^T.
Além disso, cada \mathbf{u}_i satisfaz T\mathbf{u}_i=\lambda_i\mathbf{u}_i. Portanto
P^T T P=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),
ou seja, a matriz de T no novo sistema de coordenadas (eixos principais) é diagonal com os autovalores na diagonal. Por P ser ortogonal, a transformação entre as bases é ortogonal (preserva produto interno e ângulos), como pedido.
Resposta
\lambda_1=1 com autovetor \mathbf{v}_1=(1,0,0). \lambda_2=3+\sqrt{10} com autovetor \mathbf{v}_2=(0,3,1+\sqrt{10}). \lambda_3=3-\sqrt{10} com autovetor \mathbf{v}_3=(0,3,1-\sqrt{10}).
A transformação para o sistema cujos eixos são os eixos principais é ortogonal: formando P com os autovetores normalizados, P é ortogonal (P^TP=I) e P^TTP=\operatorname{diag}(1,3+\sqrt{10},3-\sqrt{10}).