( 2,5 pontos) Determine os autovalores e autovetores do tensor simétrico
T_{i k}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right) .
Mostre que a transformação para um sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com os eixos principais do tensor é ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá o tensor (matriz simétrica) e pede duas coisas:
  • Determinar os autovalores e autovetores de
T=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
  • Mostrar que a transformação para um sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com os eixos principais do tensor é ortogonal.
Informações relevantes: a matriz é simétrica (ou seja, T^T=T), o que costuma implicar propriedades sobre autovalores e autovetores (vamos explorar isso nos próximos passos). A resolução começará calculando o polinômio característico e os vetores próprios.]

Passo 2

O que significa achar autovalores e autovetores? Definição e método prático:
  • Uma autovetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0} e autovalor \lambda satisfazem
T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
  • Para encontrar os \lambda resolvemos o polinômio característico
\det(T-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Vou calcular \det(T-\lambda I) explicitamente, passo a passo, e então obter as \lambda. Depois, para cada \lambda resolvo (T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para obter os autovetores.

Passo 3

Formo T-\lambda I:
T-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda & 3\\[4pt] 0 & 3 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, a determinante fatoriza:
\det(T-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt] 3 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt] 3 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(4-\lambda)-3\cdot3.
Faço a conta:
(2-\lambda)(4-\lambda)-9=8-2\lambda-4\lambda+\lambda^2-9=\lambda^2-6\lambda-1.
Logo o polinômio característico é
\det(T-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl(\lambda^2-6\lambda-1\bigr).]

Passo 4

Encontro as raízes (autovalores):
  • Uma raiz óbvia é \lambda=1 (vinda do fator 1-\lambda).
  • As outras duas vêm da equação quadrática \lambda^2-6\lambda-1=0. Uso fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{36+4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10}.
Portanto os três autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=3+\sqrt{10},\qquad \lambda_3=3-\sqrt{10}.

Passo 5

Agora encontro os autovetores correspondentes resolvendo (T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
  1. Para \lambda_1=1:
T-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Sist. linear (T-I)(x,y,z)^T=(0,0,0)^T dá as equações
0=0,\qquad y+3z=0,\qquad 3y+3z=0.
Da segunda e terceira equações vem y+3z=0 e multiplicando por 3 dá 3y+9z=0; comparar com 3y+3z=0 implica 6z=0\Rightarrow z=0\Rightarrow y=0. Logo y=z=0 e x é livre. Posso escolher x=1. Um autovetor associado é
\mathbf{v}_1=(1,0,0).
(Esta escolha faz sentido também porque a primeira linha/coluna isolada com 1 dá T(1,0,0)^T=(1,0,0)^T.)]

Passo 6

Autovetores para \lambda_2=3+\sqrt{10} e \lambda_3=3-\sqrt{10}.
Como a matriz é em bloco (primeira coord separada), procuramos autovetores da forma (0,y,z).
Para \lambda=\lambda_2=3+\sqrt{10} resolvo o sistema (2-\lambda)y+3z=0 e 3y+(4-\lambda)z=0. Basta usar a primeira equação (a segunda é proporcional se \lambda é raiz do polinômio característico). A primeira dá
(2-(3+\sqrt{10}))y+3z=(-1-\sqrt{10})y+3z=0
ou
3z=(1+\sqrt{10})y \quad\Rightarrow\quad z=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\,y.
Posso escolher y=3 para remover denominador; então
z=1+\sqrt{10},
e um autovetor correspondente é
\mathbf{v}_2=(0,3,1+\sqrt{10}).
Para \lambda=\lambda_3=3-\sqrt{10} a primeira equação é
(2-(3-\sqrt{10}))y+3z=(-1+\sqrt{10})y+3z=0,
logo
3z=(1-\sqrt{10})y \quad\Rightarrow\quad z=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\,y.
Escolhendo y=3 obtemos
z=1-\sqrt{10},
e um autovetor é
\mathbf{v}_3=(0,3,1-\sqrt{10}).
Observação: os autovetores podem ser multiplicados por qualquer escalar; escolhi y=3 só para obter coordenadas inteiras/ráteis.

Passo 7

Mostro que esses autovetores são mutuamente ortogonais (o que vai garantir a transformação para eixos principais ser ortogonal):
  • \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = (1,0,0)\cdot(0,3,1+\sqrt{10})=0.
  • \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 = (1,0,0)\cdot(0,3,1-\sqrt{10})=0.
  • Produto entre \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3:
\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_3 = 3\cdot3 + (1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10}) = 9 + (1-10)=9-9=0.
Logo \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são mutuamente ortogonais.

Passo 8

Transformação para os eixos principais e ortogonalidade:
  • Normalizando cada autovetor \mathbf{u}_i=\mathbf{v}_i/\|\mathbf{v}_i\| obtemos um conjunto ortonormal de vetores.
  • Monte a matriz de mudança de base P=[\mathbf{u}_1\\ \mathbf{u}_2\\ \mathbf{u}_3] (colunas são os autovetores normalizados). Como as colunas são ortonormais, P é ortogonal, isto é,
P^T P = I \quad\text{e}\quad P^{-1}=P^T.
  • Além disso, cada \mathbf{u}_i satisfaz T\mathbf{u}_i=\lambda_i\mathbf{u}_i. Portanto
P^T T P=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),
ou seja, a matriz de T no novo sistema de coordenadas (eixos principais) é diagonal com os autovalores na diagonal. Por P ser ortogonal, a transformação entre as bases é ortogonal (preserva produto interno e ângulos), como pedido.

Resposta

\lambda_1=1 com autovetor \mathbf{v}_1=(1,0,0).
\lambda_2=3+\sqrt{10} com autovetor \mathbf{v}_2=(0,3,1+\sqrt{10}).
\lambda_3=3-\sqrt{10} com autovetor \mathbf{v}_3=(0,3,1-\sqrt{10}).
A transformação para o sistema cujos eixos são os eixos principais é ortogonal: formando P com os autovetores normalizados, P é ortogonal ( P^TP=I) e P^TTP=\operatorname{diag}(1,3+\sqrt{10},3-\sqrt{10}).

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