(2,5 pontos) Determine o fluxo do rotacional do campo
, através da semi-esfera
, onde
são coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do rotacional do campo
através da semi-esfera dada. Informações relevantes do enunciado:
A superfície é a semi-esfera
A superfície é a semi-esfera
ou seja, esfera de raio
cortada pelo plano
, tomando a parte superior. A pergunta é: calcular
o fluxo do rotacional através dessa semi-esfera. Não há indicação explícita de orientação; tomarei a orientação dada pelo normal externo à esfera (normal radial apontando para fora).
Passo 2
Explicação do método escolhido (sem resolver ainda): uma forma natural é calcular diretamente
em coordenadas cartesianas e integrar
sobre a semi-esfera usando coordenadas esféricas. Isso é prático porque para a esfera de raio
o vetor normal unitário é
(com
) e o elemento de superfície vale
, o que simplifica bastante a integral. Vou proceder com esse método e explicarei cada fórmula usada.
Passo 3
Recordando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas: para
,
Aqui
,
,
. Vou calcular cada derivada parcialmente.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais necessárias uma a uma:
Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 5
Continuando:
Logo a segunda componente é
Passo 6
Agora a terceira componente:
Logo
Passo 7
Portanto o rotacional fica
Quero agora o produto escalar
sobre a superfície da esfera. Para a esfera de raio
o normal externo unitário é
O produto escalar é então
Passo 8
Simplificando o produto escalar:
Passo 9
O fluxo é a integral de superfície
Para parametrizar a semi-esfera usamos coordenadas esféricas padrão com raio
:
com
(porque
) e
. O elemento de área na esfera é
Portanto a integral do fluxo fica
Passo 10
Substituímos
e
em coordenadas esféricas:
Logo
Multiplicando por
(vindo do fator
e do
de
), obtemos o integrando final:
Portanto a integral do fluxo é
Passo 11
Agora integramos em
primeiro. Note que
portanto o termo com
desaparece. Resta apenas o segundo termo:
Passo 12
Calcule a integral em
:
Uma maneira simples é usar a substituição
,
. Então a integral vira
Portanto o fluxo é