(2,5 pontos) Determine o fluxo do rotacional do campo \mathbf{F}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right) \mathbf{i}_{1}+3 x_{1} x_{2} \mathbf{i}_{2}+ \left(2 x_{1} x_{3}+x_{3}^{2}\right) \mathbf{i}_{\mathbf{3}}, através da semi-esfera x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=16, x_{3}>0, onde \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) são coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do rotacional do campo \mathbf{F} através da semi-esfera dada. Informações relevantes do enunciado:
\mathbf{F}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right)\mathbf{i}_{1}+3x_{1}x_{2}\mathbf{i}_{2}+\left(2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}\right)\mathbf{i}_{3}.
A superfície é a semi-esfera
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=16,\qquad x_{3}>0,
ou seja, esfera de raio 4 cortada pelo plano x_{3}=0, tomando a parte superior. A pergunta é: calcular
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,
o fluxo do rotacional através dessa semi-esfera. Não há indicação explícita de orientação; tomarei a orientação dada pelo normal externo à esfera (normal radial apontando para fora).

Passo 2

Explicação do método escolhido (sem resolver ainda): uma forma natural é calcular diretamente \nabla\times\mathbf{F} em coordenadas cartesianas e integrar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} sobre a semi-esfera usando coordenadas esféricas. Isso é prático porque para a esfera de raio R o vetor normal unitário é \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{x}}{R} (com \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})) e o elemento de superfície vale dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, o que simplifica bastante a integral. Vou proceder com esse método e explicarei cada fórmula usada.

Passo 3

Recordando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas: para \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}\right)\mathbf{i}_{1}+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}}\right)\mathbf{i}_{2}+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}\right)\mathbf{i}_{3}.
Aqui F_{1}=x_{1}^{2}+x_{2}-4, F_{2}=3x_{1}x_{2}, F_{3}=2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}. Vou calcular cada derivada parcialmente.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais necessárias uma a uma:
\displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}} = 0, porque F_{3} não depende de x_{2}.
\displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}} = 0, porque F_{2} não depende de x_{3}.
Portanto a primeira componente do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_{1} = 0-0 = 0.

Passo 5

Continuando:
\displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}} = 0, pois F_{1} não depende de x_{3}.
\displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}} = 2x_{3}, pois F_{3}=2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2} tem derivada em x_{1} igual a 2x_{3}.
Logo a segunda componente é
(\nabla\times\mathbf{F})_{2} = 0 - 2x_{3} = -2x_{3}.

Passo 6

Agora a terceira componente:
\displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = 3x_{2}, pois F_{2}=3x_{1}x_{2}.
\displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} = 1, pois F_{1}=x_{1}^{2}+x_{2}-4.
Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_{3} = 3x_{2}-1.

Passo 7

Portanto o rotacional fica
\nabla\times\mathbf{F} = \bigl(0,\,-2x_{3},\,3x_{2}-1\bigr).
Quero agora o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n} sobre a superfície da esfera. Para a esfera de raio R=4 o normal externo unitário é
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{x}}{R}=\left(\frac{x_{1}}{4},\frac{x_{2}}{4},\frac{x_{3}}{4}\right).
O produto escalar é então
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = 0\cdot\frac{x_{1}}{4} + (-2x_{3})\cdot\frac{x_{2}}{4} + (3x_{2}-1)\cdot\frac{x_{3}}{4}.

Passo 8

Simplificando o produto escalar:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = -\frac{2x_{2}x_{3}}{4} + \frac{3x_{2}x_{3}-x_{3}}{4} = \frac{-2x_{2}x_{3}+3x_{2}x_{3}-x_{3}}{4} = \frac{x_{2}x_{3}-x_{3}}{4} = \frac{x_{3}(x_{2}-1)}{4}.

Passo 9

O fluxo é a integral de superfície
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Para parametrizar a semi-esfera usamos coordenadas esféricas padrão com raio R=4:
x_{1}=4\sin\varphi\cos\theta,\qquad x_{2}=4\sin\varphi\sin\theta,\qquad x_{3}=4\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque x_{3}>0) e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área na esfera é
dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Portanto a integral do fluxo fica
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} \frac{x_{3}(x_{2}-1)}{4}\;dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \frac{x_{3}(x_{2}-1)}{4}\cdot 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 10

Substituímos x_{2} e x_{3} em coordenadas esféricas:
x_{2}=4\sin\varphi\sin\theta,\qquad x_{3}=4\cos\varphi.
Logo
x_{3}(x_{2}-1) = 4\cos\varphi\bigl(4\sin\varphi\sin\theta - 1\bigr) =16\cos\varphi\sin\varphi\sin\theta - 4\cos\varphi.
Multiplicando por \dfrac{16}{4}=4 (vindo do fator \dfrac{1}{4} e do 16 de dS), obtemos o integrando final:
\frac{16}{4}\bigl(16\cos\varphi\sin\varphi\sin\theta - 4\cos\varphi\bigr)\sin\varphi =64\cos\varphi\sin^{2}\varphi\sin\theta -16\cos\varphi\sin\varphi.
Portanto a integral do fluxo é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \bigl(64\cos\varphi\sin^{2}\varphi\sin\theta -16\cos\varphi\sin\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta.

Passo 11

Agora integramos em \theta primeiro. Note que
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,
portanto o termo com \sin\theta desaparece. Resta apenas o segundo termo:
-16\int_{0}^{2\pi}\,d\theta \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -16\cdot(2\pi)\cdot\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 12

Calcule a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Uma maneira simples é usar a substituição u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi. Então a integral vira
\int_{u=0}^{u=1} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Portanto o fluxo é
-16\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = -16\pi.

Resposta

-16\pi

Exercícios relacionados