Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva
13.11
onde
é a delta de Dirac.
13.11
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com termo de força
,
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace em EDOs com impulso de Dirac.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
, usamos
Logo, da equação original obtemos
Passo 3
Agrupando termos em
e os termos livres,
Logo
Passo 4
Encontramos as raízes do denominador:
Assim
Passo 5
Fazemos frações parciais:
com
Substituindo
e
obtém-se
Passo 6
Aplicando a inversa da Laplace, como
, chega-se a