Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva
13.11
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\delta(t), \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
onde \delta(t) é a delta de Dirac.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com termo de força \delta(t),
3y'' + 2y' - 3y = \delta(t),
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace em EDOs com impulso de Dirac.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, usamos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
Logo, da equação original obtemos
3\bigl(s^2Y(s)-s\bigr)+2\bigl(sY(s)-1\bigr)-3Y(s)=1.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e os termos livres,
(3s^2+2s-3)\,Y(s)-\bigl(3s+2\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad (3s^2+2s-3)\,Y(s)=1+3s+2=3s+3.
Logo
Y(s)=\frac{3s+3}{3s^2+2s-3} =\frac{s+1}{s^2+\tfrac{2}{3}s-1}.

Passo 4

Encontramos as raízes do denominador:
s^2+\tfrac{2}{3}s-1=0 \quad\Longrightarrow\quad s_{1,2}=\frac{-\tfrac{2}{3}\pm\sqrt{\tfrac{4}{9}+4}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}.
Assim
Y(s)=\frac{s+1}{(s-s_1)(s-s_2)}.

Passo 5

Fazemos frações parciais:
\frac{s+1}{(s-s_1)(s-s_2)} =\frac{A}{s-s_1}+\frac{B}{s-s_2},
com
A=\frac{s_1+1}{s_1-s_2},\quad B=\frac{s_2+1}{s_2-s_1}.
Substituindo s_1=\tfrac{-1+\sqrt{10}}{3} e s_2=\tfrac{-1-\sqrt{10}}{3} obtém-se
A=\frac12+\frac{1}{\sqrt{10}}, \quad B=\frac12-\frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 6

Aplicando a inversa da Laplace, como \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-s_i}\}=e^{s_i t}, chega-se a
y(t) =\Bigl(\tfrac12+\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)e^{\tfrac{-1+\sqrt{10}}{3}t} +\Bigl(\tfrac12-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)e^{\tfrac{-1-\sqrt{10}}{3}t}.

Resposta

y(t) =\Bigl(\tfrac12+\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)e^{\tfrac{-1+\sqrt{10}}{3}t} +\Bigl(\tfrac12-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)e^{\tfrac{-1-\sqrt{10}}{3}t}.

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