13.10 Calcule a transformada de Laplace de
[H(t)-H(t-a)] \frac{t}{a}+[H(t-a)-H(t-2 a)]\left(2-\frac{t}{a}\right) .

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\bigl[H(t)-H(t-a)\bigr]\frac{t}{a} \;+\;\bigl[H(t-a)-H(t-2a)\bigr]\Bigl(2-\frac{t}{a}\Bigr).
O conteúdo é transformada de Laplace de função definida por trechos via degrau de Heaviside. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e, neste caso, quebrar a integral em trechos.

Passo 2

Reescrevendo sem os H:
  • Para 0\le t<a, temos f(t)=\tfrac{t}{a}.
  • Para a\le t<2a, temos f(t)=2-\tfrac{t}{a}.
  • Para t<0 ou t\ge2a, f(t)=0.

Passo 3

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{a}\frac{t}{a}e^{-st}dt +\int_{a}^{2a}\Bigl(2-\frac{t}{a}\Bigr)e^{-st}dt.
Chamemos o primeiro integral de I_{1} e o segundo de I_{2}.

Passo 4

Calcular
I_{1}=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}t\,e^{-st}dt.
Usando integração por partes com u=t, dv=e^{-st}dt, obtém-se
\int_{0}^{a}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{a} +\frac{1}{s}\int_{0}^{a}e^{-st}dt =-\frac{a}{s}e^{-sa}+\frac{1}{s}\Bigl[\!-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{a} =-\frac{a}{s}e^{-sa}+\frac{1-e^{-sa}}{s^{2}}.
Logo
I_{1} =\frac{1}{a}\Bigl(-\frac{a}{s}e^{-sa}+\frac{1-e^{-sa}}{s^{2}}\Bigr) =-\frac{e^{-sa}}{s}+\frac{1-e^{-sa}}{a\,s^{2}}.

Passo 5

Calcular
I_{2} =\int_{a}^{2a}\Bigl(2-\frac{t}{a}\Bigr)e^{-st}dt =2\int_{a}^{2a}e^{-st}dt -\frac{1}{a}\int_{a}^{2a}t\,e^{-st}dt.
Chamando
A=2\int_{a}^{2a}e^{-st}dt =\frac{2}{s}\bigl(e^{-sa}-e^{-2sa}\bigr),
e usando de novo por partes
\int_{a}^{2a}t\,e^{-st}dt =-\frac{t}{s}e^{-st}\Big|_{a}^{2a} -\frac{1}{s}\int_{a}^{2a}e^{-st}dt =-\frac{2a}{s}e^{-2sa}+\frac{a}{s}e^{-sa} -\frac{1}{s}\frac{e^{-sa}-e^{-2sa}}{s},
segue
B=\frac{1}{a}\int_{a}^{2a}t\,e^{-st}dt =\frac{1}{s}\bigl(e^{-sa}-2e^{-2sa}\bigr) +\frac{1}{a\,s^{2}}\bigl(e^{-sa}-e^{-2sa}\bigr).
Portanto
I_{2}=A-B =\frac{2}{s}(e^{-sa}-e^{-2sa}) -\frac{1}{s}(e^{-sa}-2e^{-2sa}) -\frac{1}{a\,s^{2}}(e^{-sa}-e^{-2sa}) =\frac{e^{-sa}}{s}-\frac{e^{-sa}-e^{-2sa}}{a\,s^{2}}.

Passo 6

Somando I_{1}+I_{2}:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\Bigl(-\frac{e^{-sa}}{s}+\frac{1-e^{-sa}}{a\,s^{2}}\Bigr) +\Bigl(\frac{e^{-sa}}{s}-\frac{e^{-sa}-e^{-2sa}}{a\,s^{2}}\Bigr) =\frac{1-2e^{-sa}+e^{-2sa}}{a\,s^{2}} =\frac{\bigl(1-e^{-sa}\bigr)^{2}}{a\,s^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{\bigl(1-e^{-sa}\bigr)^{2}}{a\,s^{2}}.

Exercícios relacionados