13.9 Resolva a equação diferencial
usando obrigatoriamente transformadas de Laplace. Por causa da presença da distribuição delta de Dirac, é conveniente definir
Siga o seguinte roteiro:
a) Monte a tabela de transformadas de que você necessitará, na ida ou na volta, calculando
e
.
b) Mostre que
c) De posse dos resultados de a) e de b), resolva o problema.
a) Monte a tabela de transformadas de que você necessitará, na ida ou na volta, calculando
b) Mostre que
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das transformadas de funções exponenciais e da delta de Dirac, além da propriedade de desfasamento temporal para funções multiplicadas por
.
Passo 2
Calculamos duas transformadas básicas que vão entrar na solução.
Para
temos, para
,
Para a distribuição de Dirac
,
Passo 3
Agora mostramos que
De fato, definindo
, quando
vai de
a
, a função
só “liga” para
. Então
Fazendo
obtemos
Passo 4
Aplicamos a transformada de Laplace na equação original. Chamando
, e usando
, temos
Logo
Invertendo a transformada, reconhecemos uma exponencial: