13.9 Resolva a equação diferencial
\frac{d x}{d t}+\frac{1}{T} x=\delta(t), \quad x\left(0_{-}\right)=0
usando obrigatoriamente transformadas de Laplace. Por causa da presença da distribuição delta de Dirac, é conveniente definir
\mathscr{L}\{f(t)\} \equiv \int_{0_{-}}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t
Siga o seguinte roteiro:
a) Monte a tabela de transformadas de que você necessitará, na ida ou na volta, calculando \mathscr{L}\left\{e^{a t}\right\} e \mathscr{L}\{\delta(t)\}.
b) Mostre que
\mathscr{L}\{H(t-a) f(t-a)\}=e^{-a s} \mathscr{L}\{f(t)\}
c) De posse dos resultados de a) e de b), resolva o problema.

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial
\frac{dx}{dt} + \frac{1}{T}\,x = \delta(t), \quad x(0_-)=0
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das transformadas de funções exponenciais e da delta de Dirac, além da propriedade de desfasamento temporal para funções multiplicadas por H(t-a).

Passo 2

Calculamos duas transformadas básicas que vão entrar na solução.
Para f(t)=e^{a t} temos, para \Re(s)>\Re(a),
\mathscr{L}\{e^{a t}\} = \int_{0_-}^{\infty} e^{a t} e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s - a}.
Para a distribuição de Dirac \delta(t),
\mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0_-}^{\infty}\delta(t)\,e^{-s t}\,dt = e^{-s\cdot 0} =1.

Passo 3

Agora mostramos que
\mathscr{L}\{H(t-a)\,f(t-a)\} = e^{-a s}\,\mathscr{L}\{f(t)\}.
De fato, definindo u = t - a, quando t vai de 0_- a \infty, a função H(t-a) só “liga” para t\ge a. Então
\mathscr{L}\{H(t-a)f(t-a)\} = \int_{0_-}^{\infty}H(t-a)\,f(t-a)\,e^{-st}\,dt = \int_{a}^{\infty}f(t-a)\,e^{-st}\,dt.
Fazendo u=t-a obtemos
\int_{0}^{\infty}f(u)\,e^{-s(u+a)}\,du = e^{-as}\int_{0}^{\infty}f(u)\,e^{-su}\,du = e^{-as}\,\mathscr{L}\{f(t)\}.

Passo 4

Aplicamos a transformada de Laplace na equação original. Chamando X(s)=\mathscr{L}\{x(t)\}, e usando \mathscr{L}\{x'\}=sX(s)-x(0_-)=sX(s), temos
sX(s) + \frac{1}{T}\,X(s) = \mathscr{L}\{\delta(t)\} =1.
Logo
\bigl(s+\tfrac{1}{T}\bigr)X(s)=1 \quad\Longrightarrow\quad X(s)=\frac{1}{s+\tfrac{1}{T}}.
Invertendo a transformada, reconhecemos uma exponencial:
x(t) = \mathscr{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s+1/T}\Bigr\} = e^{-t/T}\,H(t).

Resposta

x(t)=e^{-t/T}\,H(t).

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