Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine:
- os pontos críticos (usando a primeira e a segunda derivada);
- os pontos de inflexão;
- e que eu esboce o gráfico da função.
Informações fornecidas relevantes:
- A função é dada explicitamente por
. - Não há restrição de domínio explícita, logo o domínio é todo o conjunto dos reais, isto é
.
Passo 2
Vou calcular a primeira derivada
. Antes de calcular, um pequeno lembrete didático: a derivada
mede a taxa de variação instantânea da função — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. Regras usadas:
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
(com constante) é .
Aplicando isso:
a primeira derivada é
Comentário:
é uma constante igual a
para todo
. Isso significa que a função é uma reta com inclinação constante
.
Passo 3
Definição e aplicação para pontos críticos: um ponto crítico é um
do domínio onde
ou onde
não está definida. Aqui:
e
, além disso
está definida em todo
. Portanto não existe
tal que
nem existe ponto onde
seja indefinida. Conclusão:
- Não há pontos críticos (logo não há máximos ou mínimos locais).
Explicação intuitiva: como a inclinação é sempre negativa e constante, a reta só desce; não há pontos de subida/descida que indiquem extremos.
Passo 4
Vou calcular a segunda derivada
. Lembrete didático: a segunda derivada
mede a curvatura (concavidade) da função — se
a função é côncava para cima, se
é côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de sinal (normalmente where
e troca de sinal).
Calculando:
Aqui a segunda derivada é a função zero em todo o domínio. Quando
a função é linear (nenhuma curvatura), portanto não há mudança de concavidade. Conclusão:
- Não há pontos de inflexão.
Passo 5
Agora vou obter informações úteis para esboçar o gráfico (interceptos e comportamento):
- Intercepto com o eixo
(quando ):
Então o ponto
é o intercepto em
.
- Intercepto com o eixo
(resolver ):
Então o ponto
é o intercepto em
.
Se eu quiser uma aproximação numérica para visualizar: primeiro
, então
e assim
-intercepto
. Mas a forma exata com
é suficiente.
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar na prova):
- É uma reta com inclinação
(desce 2 unidades em quando aumenta 1). - Passa por
. - Passa por
. - Não tem máximos, mínimos nem pontos de inflexão.
Para desenhar: marque o pontono eixo , a partir dele desça seguindo a inclinação formando uma reta; marque também o intercepto em em . A reta continua indefinidamente para ambos os lados.
Resposta
Pontos críticos: nenhum.
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço do gráfico: reta decrescente de inclinação
que intercepta o eixo
em
e o eixo
em
.