Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=5^{2 / 5}-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=5^{2/5}-2x
e pede que eu determine:
  • os pontos críticos (usando a primeira e a segunda derivada);
  • os pontos de inflexão;
  • e que eu esboce o gráfico da função.
Informações fornecidas relevantes:
  • A função é dada explicitamente por f(x)=5^{2/5}-2x.
  • Não há restrição de domínio explícita, logo o domínio é todo o conjunto dos reais, isto é (-\infty,\infty).

Passo 2

Vou calcular a primeira derivada f'(x). Antes de calcular, um pequeno lembrete didático: a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea da função — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. Regras usadas:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de ax (com a constante) é a.
Aplicando isso:
f(x)=5^{2/5}-2x
a primeira derivada é
f'(x)=0-2=-2.
Comentário: f'(x) é uma constante igual a -2 para todo x. Isso significa que a função é uma reta com inclinação constante -2.

Passo 3

Definição e aplicação para pontos críticos: um ponto crítico é um x do domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não está definida. Aqui:
f'(x)=-2\quad\text{para todo }x,
e -2\neq0, além disso f'(x) está definida em todo \mathbb{R}. Portanto não existe x tal que f'(x)=0 nem existe ponto onde f' seja indefinida. Conclusão:
  • Não há pontos críticos (logo não há máximos ou mínimos locais).
Explicação intuitiva: como a inclinação é sempre negativa e constante, a reta só desce; não há pontos de subida/descida que indiquem extremos.

Passo 4

Vou calcular a segunda derivada f''(x). Lembrete didático: a segunda derivada f''(x) mede a curvatura (concavidade) da função — se f''(x)>0 a função é côncava para cima, se f''(x)<0 é côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de sinal (normalmente where f''(x)=0 e troca de sinal).
Calculando:
f'(x)=-2\implies f''(x)=0.
Aqui a segunda derivada é a função zero em todo o domínio. Quando f''(x)\equiv0 a função é linear (nenhuma curvatura), portanto não há mudança de concavidade. Conclusão:
  • Não há pontos de inflexão.

Passo 5

Agora vou obter informações úteis para esboçar o gráfico (interceptos e comportamento):
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0):
f(0)=5^{2/5}-2\cdot 0=5^{2/5}.
Então o ponto (0,5^{2/5}) é o intercepto em y.
  • Intercepto com o eixo x (resolver f(x)=0):
5^{2/5}-2x=0 \implies x=\frac{5^{2/5}}{2}.
Então o ponto \bigl(\tfrac{5^{2/5}}{2},0\bigr) é o intercepto em x.
Se eu quiser uma aproximação numérica para visualizar: primeiro 5^{1/5}\approx 1{,}3797, então
5^{2/5}=(5^{1/5})^2\approx 1{,}3797^2\approx 1{,}9037,
e assim x-intercepto \approx 0{,}9519. Mas a forma exata com 5^{2/5} é suficiente.

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar na prova):
  • É uma reta com inclinação -2 (desce 2 unidades em y quando x aumenta 1).
  • Passa por (0,5^{2/5}).
  • Passa por \bigl(\tfrac{5^{2/5}}{2},0\bigr).
  • Não tem máximos, mínimos nem pontos de inflexão.
    Para desenhar: marque o ponto (0,5^{2/5}) no eixo y, a partir dele desça seguindo a inclinação -2 formando uma reta; marque também o intercepto em x em \tfrac{5^{2/5}}{2}. A reta continua indefinidamente para ambos os lados.

Resposta

Pontos críticos: nenhum.
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço do gráfico: reta decrescente de inclinação -2 que intercepta o eixo y em (0,5^{2/5}) e o eixo x em \bigl(\tfrac{5^{2/5}}{2},0\bigr).

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