Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas: (1) determinar os pontos críticos usando a primeira e a segunda derivada; (2) determinar os pontos de inflexão; (3) esboçar o gráfico (ou seja, descrever a forma do gráfico, máximos/mínimos, interceptos, monotonia e concavidade).
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado que vamos usar: o domínio é todo (a expressão é um polinômio dividido por constantes), e a função pode ser vista como produto de
por uma potência quarta de uma expressão linear. Não há figura extra. A resolução começa a seguir.
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado que vamos usar: o domínio é todo
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Primeiro lembro duas regras importantes (explicando didaticamente):
- Regra do produto: se
, então . Aqui e . - Regra da cadeia: se
com e , então . E .
Aplicando produto + cadeia:
Agora simplifico o segundo termo:
. Logo
Passo 3
Fatoramos
para achar zeros com mais clareza. Coloco em evidência
:
Agora simplifico o parêntese:
Portanto
Se preferir uma forma polinomial, note que
, então
Como
é uma função polinomial definida em todo
, os pontos críticos (onde
ou
não existe) são apenas as raízes de
. Assim os zeros são
Esses são os candidatos a pontos críticos.
Passo 4
Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (mais direto aqui). Precisamos saber o sinal de
nos intervalos determinados pelas raízes
e
:
,
,
.
Escolho pontos-teste:
- Para
: use a forma . Temos negativo e negativo; negativo·negativo = positivo, então . Logo em a função é crescente. - Para
: positivo e negativo; produto positivo·negativo = negativo, então . Logo em é decrescente. - Para
: positivo e positivo; produto positivo·positivo = positivo, então . Logo em é crescente.
Interpretação: em
a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente), portanto
é um máximo local. Em
a derivada muda de negativa para positiva (decrescente → crescente), portanto
é um mínimo local.
Passo 5
Calculo agora as ordenadas (valores de
) nos pontos relevantes para dar coordenadas completas:
Também vale lembrar o intercepto em
:
Assim pontos destacados:
máximo local,
mínimo local, e
intercepto na origem.
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada
e usamos para localizar pontos de inflexão (onde
com mudança de concavidade). Parto da forma factorizada
e derivo (produto de fatores):
Derivando:
Coloco
em evidência:
Simplifico o parêntese:
Logo
Passo 7
Zeros de
ocorrem quando
, isto é
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). Para ser ponto de inflexão é preciso que a concavidade mude de sinal em torno do ponto.
Verifico sinais de
nos intervalos determinados por
e
:
- Para
(ex.: ): e → . Então côncavo para baixo em . - Para
(ex.: ): e → . Então côncavo para cima em . - Para
(ex.: ): e → . Então côncavo para cima em .
Conclusão sobre inflexão: em
há mudança de sinal de
(de negativa para positiva), logo
é ponto de inflexão. Em
a segunda derivada zera mas tem multiplicidade par (não troca de sinal), logo não é ponto de inflexão.
Calculo a ordenada em
:
Portanto ponto de inflexão:
.
Passo 8
Resumo de monotonicidade e concavidade (útil para esboçar o gráfico):
- Monotonicidade: crescente em
, decrescente em , crescente em . - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Observação: em
temos e mas sem troca de concavidade; a classificação como mínimo local veio do teste da primeira derivada.
Passo 9
Outras informações úteis para o esboço:
- Zeros (interceptos em
): e (pois ). - Intercepto em
: (mesmo ponto). - Comportamento nas extremidades: expandindo
. O termo de maior grau é , então e (comportamento de um polinômio de grau ímpar com coeficiente positivo). - Observação sobre multiplicidade: a raiz
tem multiplicidade em (porque o fator aparece à quarta potência em ), então a curva toca o eixo em e volta para o mesmo lado (comportamento típico de multiplicidade par). Em a multiplicidade é (fator ), então atravessa o eixo.
Passo 10
Esboço (descrição prática para desenhar à mão sem calculadora):
- Marque os pontos importantes:
, máximo local alto, ponto de inflexão, mínimo local que toca o eixo e volta para cima. - Em
a curva vem de , cresce até o máximo em , depois decresce passando por onde muda de côncava para convexa, continua decrescendo até tocar o eixo em e então volta a subir para . - Lembre-se de que entre
a curva é côncava para baixo; após é côncava para cima. Em a concavidade permanece para cima.
Resposta
Pontos críticos:
— máximo local;
— mínimo local.
Pontos de inflexão: .
Monotonicidade: crescente em e
; decrescente em
.
Concavidade: côncava para baixo em ; côncava para cima em
.
Pontos de inflexão:
Monotonicidade: crescente em
Concavidade: côncava para baixo em