Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=x\left(\frac{x}{2}-5\right)^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\left(\frac{x}{2}-5\right)^{4}
e pede três coisas: (1) determinar os pontos críticos usando a primeira e a segunda derivada; (2) determinar os pontos de inflexão; (3) esboçar o gráfico (ou seja, descrever a forma do gráfico, máximos/mínimos, interceptos, monotonia e concavidade).
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado que vamos usar: o domínio é todo \mathbb{R} (a expressão é um polinômio dividido por constantes), e a função pode ser vista como produto de x por uma potência quarta de uma expressão linear. Não há figura extra. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Primeiro lembro duas regras importantes (explicando didaticamente):
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)v(x), então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui u(x)=x e v(x)=\left(\dfrac{x}{2}-5\right)^4.
  • Regra da cadeia: se v(x)=w(h(x)) com w(t)=t^4 e h(x)=\dfrac{x}{2}-5, então v'(x)=w'(h(x))\cdot h'(x)=4\big(h(x)\big)^3\cdot h'(x). E h'(x)=\dfrac{1}{2}.
Aplicando produto + cadeia:
f'(x)=1\cdot\left(\frac{x}{2}-5\right)^4 + x\cdot 4\left(\frac{x}{2}-5\right)^3\cdot\frac{1}{2}.
Agora simplifico o segundo termo: 4\cdot\frac{1}{2}=2. Logo
f'(x)=\left(\frac{x}{2}-5\right)^4 + 2x\left(\frac{x}{2}-5\right)^3.

Passo 3

Fatoramos f'(x) para achar zeros com mais clareza. Coloco em evidência \left(\dfrac{x}{2}-5\right)^3:
f'(x)=\left(\frac{x}{2}-5\right)^3\!\left(\frac{x}{2}-5 + 2x\right).
Agora simplifico o parêntese:
\frac{x}{2}-5+2x=\frac{x}{2}+2x-5=\frac{5}{2}x-5=\frac{5}{2}(x-2).
Portanto
f'(x)=\frac{5}{2}\left(\frac{x}{2}-5\right)^3(x-2).
Se preferir uma forma polinomial, note que \dfrac{x}{2}-5=\dfrac{x-10}{2}, então
f'(x)=\frac{5}{16}(x-2)(x-10)^3.
Como f'(x) é uma função polinomial definida em todo \mathbb{R}, os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) são apenas as raízes de f'(x). Assim os zeros são
x=2\quad\text{e}\quad x=10.
Esses são os candidatos a pontos críticos.

Passo 4

Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (mais direto aqui). Precisamos saber o sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelas raízes 2 e 10: (-\infty,2), (2,10), (10,\infty).
Escolho pontos-teste:
  • Para x=0\in(-\infty,2): use a forma \dfrac{5}{16}(x-2)(x-10)^3. Temos (0-2)=-2 negativo e (0-10)^3=(-10)^3=-1000 negativo; negativo·negativo = positivo, então f'(0)>0. Logo em (-\infty,2) a função é crescente.
  • Para x=3\in(2,10): (3-2)=1 positivo e (3-10)^3=(-7)^3=-343 negativo; produto positivo·negativo = negativo, então f'(3)<0. Logo em (2,10) é decrescente.
  • Para x=11\in(10,\infty): (11-2)=9 positivo e (11-10)^3=1 positivo; produto positivo·positivo = positivo, então f'(11)>0. Logo em (10,\infty) é crescente.
Interpretação: em x=2 a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente), portanto x=2 é um máximo local. Em x=10 a derivada muda de negativa para positiva (decrescente → crescente), portanto x=10 é um mínimo local.

Passo 5

Calculo agora as ordenadas (valores de f) nos pontos relevantes para dar coordenadas completas:
f(2)=2\left(\frac{2}{2}-5\right)^4=2(1-5)^4=2(-4)^4=2\cdot 256=512.
f(10)=10\left(\frac{10}{2}-5\right)^4=10(5-5)^4=10\cdot 0=0.
Também vale lembrar o intercepto em x=0:
f(0)=0\left(\frac{0}{2}-5\right)^4=0.
Assim pontos destacados: (2,512) máximo local, (10,0) mínimo local, e (0,0) intercepto na origem.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) e usamos para localizar pontos de inflexão (onde f''(x)=0 com mudança de concavidade). Parto da forma factorizada f'(x)=\dfrac{5}{16}(x-2)(x-10)^3 e derivo (produto de fatores):
Derivando:
f''(x)=\frac{5}{16}\Big((x-10)^3 + (x-2)\cdot 3(x-10)^2\Big).
Coloco (x-10)^2 em evidência:
f''(x)=\frac{5}{16}(x-10)^2\big((x-10)+3(x-2)\big).
Simplifico o parêntese:
(x-10)+3(x-2)=x-10+3x-6=4x-16=4(x-4).
Logo
f''(x)=\frac{5}{16}(x-10)^2\cdot 4(x-4)=\frac{5}{4}(x-10)^2(x-4).

Passo 7

Zeros de f''(x) ocorrem quando (x-10)^2(x-4)=0, isto é x=10 (multiplicidade 2) e x=4 (multiplicidade 1). Para ser ponto de inflexão é preciso que a concavidade mude de sinal em torno do ponto.
Verifico sinais de f'' nos intervalos determinados por 4 e 10:
  • Para x<4 (ex.: x=0): (x-10)^2>0 e (x-4)<0 f''(0)<0. Então côncavo para baixo em (-\infty,4).
  • Para 4<x<10 (ex.: x=5): (x-10)^2>0 e (x-4)>0 f''(5)>0. Então côncavo para cima em (4,10).
  • Para x>10 (ex.: x=11): (x-10)^2>0 e (x-4)>0 f''(11)>0. Então côncavo para cima em (10,\infty).
Conclusão sobre inflexão: em x=4 há mudança de sinal de f'' (de negativa para positiva), logo x=4 é ponto de inflexão. Em x=10 a segunda derivada zera mas tem multiplicidade par (não troca de sinal), logo não é ponto de inflexão.
Calculo a ordenada em x=4:
f(4)=4\left(\frac{4}{2}-5\right)^4=4(2-5)^4=4(-3)^4=4\cdot 81=324.
Portanto ponto de inflexão: (4,324).

Passo 8

Resumo de monotonicidade e concavidade (útil para esboçar o gráfico):
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,2), decrescente em (2,10), crescente em (10,\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,4), côncava para cima em (4,\infty).
  • Observação: em x=10 temos f'(10)=0 e f''(10)=0 mas sem troca de concavidade; a classificação como mínimo local veio do teste da primeira derivada.

Passo 9

Outras informações úteis para o esboço:
  • Zeros (interceptos em x): x=0 e x=10 (pois f(x)=x\left(\dfrac{x}{2}-5\right)^4).
  • Intercepto em y: f(0)=0 (mesmo ponto).
  • Comportamento nas extremidades: expandindo f(x)=x\left(\dfrac{x-10}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}x(x-10)^4. O termo de maior grau é \dfrac{1}{16}x^5, então \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty (comportamento de um polinômio de grau ímpar com coeficiente positivo).
  • Observação sobre multiplicidade: a raiz x=10 tem multiplicidade 4 em f (porque o fator (x-10) aparece à quarta potência em f), então a curva toca o eixo x em x=10 e volta para o mesmo lado (comportamento típico de multiplicidade par). Em x=0 a multiplicidade é 1 (fator x), então atravessa o eixo.

Passo 10

Esboço (descrição prática para desenhar à mão sem calculadora):
  • Marque os pontos importantes: (0,0), (2,512) máximo local alto, (4,324) ponto de inflexão, (10,0) mínimo local que toca o eixo e volta para cima.
  • Em (-\infty) a curva vem de -\infty, cresce até o máximo em (2,512), depois decresce passando por (4,324) onde muda de côncava para convexa, continua decrescendo até tocar o eixo em (10,0) e então volta a subir para +\infty.
  • Lembre-se de que entre (-\infty,4) a curva é côncava para baixo; após 4 é côncava para cima. Em x=10 a concavidade permanece para cima.

Resposta

Pontos críticos: (2,512) — máximo local; (10,0) — mínimo local.
Pontos de inflexão: (4,324).
Monotonicidade: crescente em (-\infty,2) e (10,\infty); decrescente em (2,10).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,4); côncava para cima em (4,\infty).

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