Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: encontrar os pontos críticos, encontrar os pontos de inflexão e esboçar o gráfico de
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - O domínio natural desta função é todo
porque a raiz cúbica de está bem definida para negativo e positivo (logo faz sentido para todo ). - Precisamos usar a primeira derivada para localizar pontos críticos (onde
ou onde não existe mas existe) e a segunda derivada para localizar pontos de inflexão (onde ou onde muda de sinal).
Passo 2
Vou calcular
. Relembrando rapidamente as regras que vou usar (aula rápida, sem medo):
- Regra do produto: se
então . - Regra da potência para expoente racional: se
com racional, então , válida para quando a expressão envolve potências negativas (mas quando tem denominador ímpar, a raiz é bem definida e a fórmula dá resultado para ).
Aplicando produto com
e
:
-
para . -
.
Portanto
Agora faço uma simplificação em que fatoro
(observe que
):
Dentro do parêntese:
Assim chegamos à forma simples
Observação: esta fórmula é válida para
. Em
a derivada não existe (porque aparece
), mas
existe e vale
.
Passo 3
Agora localizo os pontos críticos. Por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde
não está definida.
- Resolver
. A constante não afeta as zeros, então precisamos de
Um produto é zero quando algum fator é zero. O fator
nunca é zero (ele seria infinito em
, não zero), logo a única solução vem de
, ou seja
- Verificar onde
não existe mas existe. Pela expressão vimos que não existe em . Como , é um ponto do domínio onde a derivada não existe — portanto é outro ponto crítico.
Conclusão do passo: os pontos críticos são
e
. Vou calcular os valores de
nesses pontos para classificação posterior:
Passo 4
Classificação dos pontos críticos usando o sinal de
(teste da primeira derivada). Lembre que
e que
. O sinal de
é determinado por
e por
. Note que
tem o mesmo sinal que
(porque é
). Faço uma análise por intervalos separados pelos pontos
; o ponto
exige cuidado porque ali
não está definida.
Analise dos sinais:
- Para
: temos (logo ) e também . Produto de dois números negativos é positivo, então . Ou seja: é crescente em . - Para
: temos (porque ) e , produto negativo, então . Ou seja: é decrescente em . - Para
: ambos positivos, . Ou seja: é crescente em .
Interpretação:
- Em
a função passa de crescente (à esquerda) para decrescente (à direita). Isso caracteriza um máximo local em . O valor é . Mesmo sem derivada em , o teste da primeira derivada mostra que é máximo local (um ponto tipo cúspide máximo). - Em
a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita). Isso caracteriza um mínimo local em . O valor é .
Passo 5
Vou calcular
para estudar concavidade e pontos de inflexão. Parto da forma já simplificada:
Aplico produto de novo com
e
. Então
e
. Logo
Faço a simplificação fatorando
. Observe que
. Assim
Dentro do parêntese:
Substituindo,
Observação: esta expressão vale para
; em
não existe.
Passo 6
Determino candidatos a pontos de inflexão: locais onde
ou onde
não existe. Da expressão
vemos que
se, e somente se,
, logo
. Também
não existe em
, mas para ser ponto de inflexão é necessário que a concavidade mude de sinal passando por aquele ponto.
Analiso o sinal de
. Note que
para todo
(porque é
e
para
). Assim o sinal de
é o mesmo do fator
:
- Para
: então → concavidade para baixo. - Para
: então → concavidade para cima. - Para
: também então → concavidade para cima.
Dado que o sinal de
muda de negativo (à esquerda de
) para positivo (à direita de
),
é realmente um ponto de inflexão. Em
não existe mas o sinal de
não muda ao atravessar
(permanece positivo em
e em
); portanto
não é ponto de inflexão.
Calculo o ponto de inflexão em coordenadas:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Resumo e instruções para esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar na prova):
- Raízes/zeros da função:
e . Então a curva corta o eixo em e . - Pontos críticos:
(máx local) com ; (mín local) com (valor aproximado ). - Ponto de inflexão:
. - Monotonicidade (do Passo 4):
- Crescente em
. - Decrescente em
. - Crescente em
.
- Crescente em
- Concavidade (do Passo 6):
- Concavo para baixo em
. - Concavo para cima em
.
- Concavo para baixo em
- Comportamento assintótico (terminologia simples): para
domina o termo então ; para como a soma dá algo com sinal negativo dominante (potência com raiz cúbica preservando sinal), . - Pontos notáveis para marcar no esboço:
(inflexão), (máx local e raiz), (mín local), (outra raiz). - Forma do esboço: a curva vem de baixo para cima (concava para baixo) até
, depois passa a concavidade para cima e sobe até atingir onde tem um máximo local (cúspide suave), depois cai até o mínimo em e então sobe de novo, cruzando o eixo em e indo a com concavidade para cima.
Dica prática para desenhar rápido na prova: marque os pontos
,
,
e
; desenhe a curva crescente antes de
, depois uma descida até
e em seguida uma subida depois de
; ajuste concavidade trocando de baixo para cima em
.
Resposta
Pontos críticos:
(máximo local,
)\n
(mínimo local,
).\nPonto de inflexão:
.\nEsboço (resumo): crescente em
, decrescente em
, crescente em
; concavo para baixo em
e concavo para cima em
; raízes em
e
.