Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=x^{2 / 3}(x-5)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três coisas: encontrar os pontos críticos, encontrar os pontos de inflexão e esboçar o gráfico de f. A função dada é
f(x)=x^{2/3}(x-5).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(x) é x^{2/3}(x-5).
  • O domínio natural desta função é todo \mathbb{R} porque a raiz cúbica de x está bem definida para x negativo e positivo (logo x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2 faz sentido para todo x).
  • Precisamos usar a primeira derivada para localizar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou onde f' não existe mas f existe) e a segunda derivada para localizar pontos de inflexão (onde f''(x)=0 ou onde f'' muda de sinal).

Passo 2

Vou calcular f'(x). Relembrando rapidamente as regras que vou usar (aula rápida, sem medo):
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da potência para expoente racional: se u(x)=x^{\alpha} com \alpha racional, então u'(x)=\alpha x^{\alpha-1}, válida para x\neq0 quando a expressão envolve potências negativas (mas quando \alpha tem denominador ímpar, a raiz é bem definida e a fórmula dá resultado para x\neq0).
Aplicando produto com u(x)=x^{2/3} e v(x)=x-5:
  • u'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3} para x\neq0.
  • v'(x)=1.
Portanto
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}(x-5)+x^{2/3}\cdot 1.
Agora faço uma simplificação em que fatoro x^{-1/3} (observe que x^{2/3}=x^{-1/3}\cdot x):
f'(x)=x^{-1/3}\left(\frac{2}{3}(x-5)+x\right).
Dentro do parêntese:
\frac{2}{3}(x-5)+x=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}+x=\frac{5}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}(x-2).
Assim chegamos à forma simples
f'(x)=\frac{5}{3}\,x^{-1/3}(x-2).
Observação: esta fórmula é válida para x\neq0. Em x=0 a derivada não existe (porque aparece x^{-1/3}), mas f(0) existe e vale 0.

Passo 3

Agora localizo os pontos críticos. Por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida.
  1. Resolver f'(x)=0. A constante \tfrac{5}{3} não afeta as zeros, então precisamos de
x^{-1/3}(x-2)=0.
Um produto é zero quando algum fator é zero. O fator x^{-1/3} nunca é zero (ele seria infinito em x=0, não zero), logo a única solução vem de x-2=0, ou seja
x=2.
  1. Verificar onde f' não existe mas f existe. Pela expressão vimos que f' não existe em x=0. Como f(0)=0^{2/3}(0-5)=0, x=0 é um ponto do domínio onde a derivada não existe — portanto é outro ponto crítico.
Conclusão do passo: os pontos críticos são x=0 e x=2. Vou calcular os valores de f nesses pontos para classificação posterior:
f(0)=0,
f(2)=2^{2/3}(2-5)=2^{2/3}\cdot(-3)=-3\cdot 2^{2/3}.

Passo 4

Classificação dos pontos críticos usando o sinal de f' (teste da primeira derivada). Lembre que f'(x)=\tfrac{5}{3}(x-2)x^{-1/3} e que \tfrac{5}{3}>0. O sinal de f' é determinado por (x-2) e por x^{-1/3}. Note que x^{-1/3} tem o mesmo sinal que x (porque é 1/\sqrt[3]{x}). Faço uma análise por intervalos separados pelos pontos x=-\infty,\,-0,\,2,\,\infty; o ponto 0 exige cuidado porque ali f' não está definida.
Analise dos sinais:
  • Para x<0: temos x<0 (logo x^{-1/3}<0) e também x-2<0. Produto de dois números negativos é positivo, então f'(x)>0. Ou seja: f é crescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: temos x^{-1/3}>0 (porque x>0) e x-2<0, produto negativo, então f'(x)<0. Ou seja: f é decrescente em (0,2).
  • Para x>2: ambos positivos, f'(x)>0. Ou seja: f é crescente em (2,\infty).
Interpretação:
  • Em x=0 a função passa de crescente (à esquerda) para decrescente (à direita). Isso caracteriza um máximo local em x=0. O valor é f(0)=0. Mesmo sem derivada em 0, o teste da primeira derivada mostra que é máximo local (um ponto tipo cúspide máximo).
  • Em x=2 a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita). Isso caracteriza um mínimo local em x=2. O valor é f(2)=-3\cdot 2^{2/3}.

Passo 5

Vou calcular f''(x) para estudar concavidade e pontos de inflexão. Parto da forma já simplificada:
f'(x)=\frac{5}{3}(x-2)x^{-1/3}.
Aplico produto de novo com u(x)=x-2 e v(x)=x^{-1/3}. Então u'(x)=1 e v'(x)=-\tfrac{1}{3}x^{-4/3}. Logo
f''(x)=\frac{5}{3}\Big( x^{-1/3}+(x-2)\big(-\tfrac{1}{3}x^{-4/3}\big)\Big).
Faço a simplificação fatorando x^{-4/3}. Observe que x^{-1/3}=x^{-4/3}\cdot x. Assim
f''(x)=\frac{5}{3}x^{-4/3}\Big( x - \frac{1}{3}(x-2)\Big).
Dentro do parêntese:
x-\frac{1}{3}(x-2)=x-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}(x+1).
Substituindo,
f''(x)=\frac{5}{3}x^{-4/3}\cdot\frac{2}{3}(x+1)=\frac{10}{9}\,x^{-4/3}(x+1).
Observação: esta expressão vale para x\neq0; em x=0 f'' não existe.

Passo 6

Determino candidatos a pontos de inflexão: locais onde f''(x)=0 ou onde f'' não existe. Da expressão
f''(x)=\frac{10}{9}x^{-4/3}(x+1)
vemos que f''(x)=0 se, e somente se, x+1=0, logo x=-1. Também f'' não existe em x=0, mas para ser ponto de inflexão é necessário que a concavidade mude de sinal passando por aquele ponto.
Analiso o sinal de f''. Note que x^{-4/3}>0 para todo x\neq0 (porque é 1/(x^{4/3}) e x^{4/3}>0 para x\neq0). Assim o sinal de f'' é o mesmo do fator (x+1):
  • Para x<-1: x+1<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para -1<x<0: x+1>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Para x>0: também x+1>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima.
Dado que o sinal de f'' muda de negativo (à esquerda de -1) para positivo (à direita de -1), x=-1 é realmente um ponto de inflexão. Em x=0 f'' não existe mas o sinal de f'' não muda ao atravessar 0 (permanece positivo em (-1,0) e em (0,\infty)); portanto x=0 não é ponto de inflexão.
Calculo o ponto de inflexão em coordenadas:
f(-1)=(-1)^{2/3}(-1-5)=(\sqrt[3]{-1})^2\cdot(-6)=(-1)^2\cdot(-6)=-6.
Portanto o ponto de inflexão é (-1,-6).

Passo 7

Resumo e instruções para esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Raízes/zeros da função: f(0)=0 e f(5)=5^{2/3}(5-5)=0. Então a curva corta o eixo x em x=0 e x=5.
  2. Pontos críticos: x=0 (máx local) com f(0)=0; x=2 (mín local) com f(2)=-3\cdot 2^{2/3} (valor aproximado -4{,}762).
  3. Ponto de inflexão: (-1,-6).
  4. Monotonicidade (do Passo 4):
    • Crescente em (-\infty,0).
    • Decrescente em (0,2).
    • Crescente em (2,\infty).
  5. Concavidade (do Passo 6):
    • Concavo para baixo em (-\infty,-1).
    • Concavo para cima em (-1,\infty).
  6. Comportamento assintótico (terminologia simples): para x\to+\infty domina o termo x^{5/3} então f(x)\to+\infty; para x\to-\infty como a soma dá algo com sinal negativo dominante (potência 5/3 com raiz cúbica preservando sinal), f(x)\to -\infty.
  7. Pontos notáveis para marcar no esboço: (-1,-6) (inflexão), (0,0) (máx local e raiz), (2,-3\cdot 2^{2/3}) (mín local), (5,0) (outra raiz).
  8. Forma do esboço: a curva vem de baixo para cima (concava para baixo) até (-1,-6), depois passa a concavidade para cima e sobe até atingir (0,0) onde tem um máximo local (cúspide suave), depois cai até o mínimo em (2,-3\cdot 2^{2/3}) e então sobe de novo, cruzando o eixo x em x=5 e indo a +\infty com concavidade para cima.
Dica prática para desenhar rápido na prova: marque os pontos (-1,-6), (0,0), (2,-3\cdot2^{2/3}) e (5,0); desenhe a curva crescente antes de 0, depois uma descida até 2 e em seguida uma subida depois de 2; ajuste concavidade trocando de baixo para cima em -1.

Resposta

Pontos críticos: x=0 (máximo local, f(0)=0)\n x=2 (mínimo local, f(2)=-3\cdot 2^{2/3}).\nPonto de inflexão: (-1,-6).\nEsboço (resumo): crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,2), crescente em (2,\infty); concavo para baixo em (-\infty,-1) e concavo para cima em (-1,\infty); raízes em x=0 e x=5.

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