Utilizando as propriedades das derivadas encontre as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas: a expressão de
é uma razão (divisão) entre
e
. A tarefa é calcular
, a derivada de
em função de
. Não há outras informações (por exemplo, ponto específico) — queremos a fórmula geral da derivada.
Passo 2
Qual método vou usar? Há duas opções naturais: aplicar diretamente a regra do quociente, ou primeiro reescrever a função como soma de termos mais simples (divisão de polinômios) e derivar termo a termo. Vou mostrar as duas: começo com a regra do quociente (direta e sistemática) e depois faço a verificação por divisão polinomial (método mais “intuitivo” que às vezes facilita cálculos à mão). Isso também te dá duas formas de resolver no dia da prova — escolha a que achar mais prática.
Passo 3
Revisão rápida e explícita das regras que vou usar (aqui eu explico cada fórmula e o que cada símbolo significa).
- Regra da potência (power rule): para
real,
Aqui
é a variável e
é o expoente; a regra diz como derivar potências de
.
- Regra da soma: se
então
Derivada é linear.
- Regra do produto: se
então
Isso combina a derivada das duas funções que estão multiplicando.
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
é o numerador e
é o denominador;
e
são as suas derivadas.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas com
e
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente passo a passo.
Defino
Derivadas simples:
Agora uso a regra do quociente:
Faço a álgebra no numerador:
Portanto
Fatorando o numerador fica mais claro:
Passo 5
Verificação alternativa (divisão polinomial + derivada termo a termo) — útil para “mastigar” o problema de outro jeito.
Faço a divisão
por
. Sabendo ou realizando a divisão:
(Para ver rápido:
, sobra
, logo resto
, dando o termo
.)
Agora derivo termo a termo usando a regra da soma e da potência. Escrevo o último termo como potência:
Então
Somando:
Faço a verificação algébrica para mostrar que coincide com o resultado do passo anterior:
que é exatamente
. Perfeito — as duas formas coincidem.
Passo 6
Observações finais rápidas para a prova: a derivada está definida para
(porque o denominador
não pode ser zero). Se precisar simplificar a resposta, use
ou
— escolha a forma que achar mais limpa na hora da prova. Força aí — você consegue!