Utilizando as propriedades das derivadas encontre as derivadas das funções:
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}.
Informações dadas: a expressão de f(x) é uma razão (divisão) entre x^{2} e x+1. A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em função de x. Não há outras informações (por exemplo, ponto específico) — queremos a fórmula geral da derivada.

Passo 2

Qual método vou usar? Há duas opções naturais: aplicar diretamente a regra do quociente, ou primeiro reescrever a função como soma de termos mais simples (divisão de polinômios) e derivar termo a termo. Vou mostrar as duas: começo com a regra do quociente (direta e sistemática) e depois faço a verificação por divisão polinomial (método mais “intuitivo” que às vezes facilita cálculos à mão). Isso também te dá duas formas de resolver no dia da prova — escolha a que achar mais prática.

Passo 3

Revisão rápida e explícita das regras que vou usar (aqui eu explico cada fórmula e o que cada símbolo significa).
  • Regra da potência (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a regra diz como derivar potências de x.
  • Regra da soma: se g(x)=h(x)+k(x) então
g'(x)=h'(x)+k'(x).
Derivada é linear.
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x) então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isso combina a derivada das duas funções que estão multiplicando.
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador; u' e v' são as suas derivadas.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas com u(x)=x^{2} e v(x)=x+1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente passo a passo.
Defino
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=x+1.
Derivadas simples:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x \qquad\text{(pela regra da potência)}ê
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+1\bigr)=1.
Agora uso a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}=\frac{(2x)(x+1)-x^{2}\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
Faço a álgebra no numerador:
(2x)(x+1)-x^{2}=2x^{2}+2x-x^{2}=x^{2}+2x.
Portanto
f'(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.
Fatorando o numerador fica mais claro:
f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Verificação alternativa (divisão polinomial + derivada termo a termo) — útil para “mastigar” o problema de outro jeito.
Faço a divisão x^{2} por x+1. Sabendo ou realizando a divisão:
\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.
(Para ver rápido: (x+1)(x-1)=x^{2}-1, sobra +1, logo resto 1, dando o termo \tfrac{1}{x+1}.)
Agora derivo termo a termo usando a regra da soma e da potência. Escrevo o último termo como potência:
\frac{1}{x+1}=(x+1)^{-1}.
Então
\frac{d}{dx}\bigl(x-1\bigr)=1,
\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-1}\bigr)=-1\cdot(x+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+1)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Somando:
f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Faço a verificação algébrica para mostrar que coincide com o resultado do passo anterior:
1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x+1-1}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}},
que é exatamente \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}. Perfeito — as duas formas coincidem.

Passo 6

Observações finais rápidas para a prova: a derivada está definida para x\neq -1 (porque o denominador (x+1)^{2} não pode ser zero). Se precisar simplificar a resposta, use \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^{2}} ou 1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}} — escolha a forma que achar mais limpa na hora da prova. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}
\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}

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