Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{\frac{x^{3}-1}{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to1} \sqrt{\frac{x^3-1}{x-1}}.
O conteúdo necessário é limite de função, fatoração de diferença de cubos e uso da continuidade da função raiz quadrada.

Passo 2

Fatoramos o numerador usando diferença de cubos:
x^3-1 = (x-1)(x^2 + x + 1).

Passo 3

Para x\neq1 o quociente simplifica-se a
\frac{x^3-1}{x-1} = x^2 + x + 1.
Logo a expressão dentro da raiz é x^2+x+1.

Passo 4

Calculamos o limite interno:
\lim_{x\to1}(x^2+x+1) = 1^2 + 1 + 1 = 3.
Como a raiz quadrada é contínua em valores positivos,
\lim_{x\to1}\sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{\lim_{x\to1}(x^2+x+1)} = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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