Utilizando as propriedades operatórias de limites, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x+1}.
O conteúdo envolve limites do tipo (1+a/x)^{bx+c}, que se conectam à definição da exponencial e.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x+1}.
Para explorar a forma exponencial, aplicamos o logaritmo natural e usamos a propriedade
\ln L = \lim_{x\to+\infty}(x+1)\,\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr).

Passo 3

Separamos o produto em dois termos:
(x+1)\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr) = x\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr) + \ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr).
Como x\to\infty, temos
\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)\sim \frac{2}{x},
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x\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)\;\longrightarrow\;2 \quad\text{e}\quad \ln\!\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)\;\longrightarrow\;0.
Portanto
\ln L = 2 + 0 = 2.

Passo 4

Como \ln L = 2, concluímos que
L = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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