Utilizando as propriedades operatórias de limites, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{8 x^{3}-2 x^{2}+8 x+1}{4 x^{3}-6 x+2}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{8x^{3}-2x^{2}+8x+1}{4x^{3}-6x+2}\right)^{10}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de função racional quando x \to \infty e utilização da propriedade de limite de potência.

Passo 2

Para analisar o quociente, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{8x^{3}-2x^{2}+8x+1}{4x^{3}-6x+2} = \frac{8 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{8}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}}}{4 - \tfrac{6}{x^{2}} + \tfrac{2}{x^{3}}}.
Como x \to +\infty, os termos \tfrac{1}{x},\tfrac{1}{x^{2}},\tfrac{1}{x^{3}} vão a zero. Assim o quociente tende a
\frac{8}{4} = 2.

Passo 3

A função u \mapsto u^{10} é contínua para u>0, então
\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{8x^{3}-2x^{2}+8x+1}{4x^{3}-6x+2}\right)^{10} = \Bigl(\lim_{x \to +\infty}\frac{8x^{3}-2x^{2}+8x+1}{4x^{3}-6x+2}\Bigr)^{10} = 2^{10} = 1024.

Resposta

1024

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