Utilizando as propriedades operatórias de limites, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-\sqrt{x^{2}+1}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to+\infty}\bigl[x - \sqrt{x^2+1}\bigr].
O conteúdo aqui é manipular limites de expressões envolvendo raízes, e a técnica-chave é racionalizar usando o conjugado.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando e dividindo pela expressão conjugada \,x + \sqrt{x^2+1}:
x - \sqrt{x^2+1} = \frac{\bigl(x - \sqrt{x^2+1}\bigr)\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 - (x^2+1)}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite à fração obtida. Como x\to+\infty, temos
x + \sqrt{x^2+1}\;\longrightarrow\;+\infty,
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\frac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}} \;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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