Utilizando as propriedades operatórias de limites, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}\left(3 x^{2}-5 x+2\right)}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}\bigl(3x^{2}-5x+2\bigr)}{x^{2}+x-2}
Observamos que, em x=1, o numerador e o denominador se anulam, gerando uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a propriedade
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1
e fatorar as expressões envolvidas.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador
x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2).

Passo 3

Em seguida fatoramos o polinômio que aparece dentro do seno:
3x^{2}-5x+2 = (x-1)(3x-2).
Logo
\operatorname{sen}\bigl(3x^{2}-5x+2\bigr) =\operatorname{sen}\bigl((x-1)(3x-2)\bigr).

Passo 4

Reescrevemos o limite em função de u=(x-1)(3x-2):
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}\bigl((x-1)(3x-2)\bigr)}{(x-1)(x+2)} =\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}\bigl(u\bigr)}{u}\,\frac{(3x-2)}{(x+2)},
pois dividimos e multiplicamos por u. Quando x\to1, temos u\to0, então o primeiro fator tende a 1:
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
O segundo fator fica
\lim_{x\to1}\frac{3x-2}{x+2}=\frac{3\cdot1-2}{1+2}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Multiplicando os resultados,
1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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