Seja
. Mostre que
e então calcule
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, vale
e em seguida calcular o caso particular
O conteúdo principal é o limite que define a derivada da função exponencial
em
, usando a relação entre
e a exponencial natural
. Precisaremos também do limite clássico
Passo 2
Reescrevemos
em termos da base
. Como
, existe
tal que
Assim, o quociente fica
Passo 3
Fazemos a substituição
. Quando
, claramente
também (já que
é constante). Note que
. Logo,
Passo 4
Aplicamos o limite clássico da exponencial natural:
Portanto,
Passo 5
Para o caso particular
, basta substituir
por
no resultado. Assim,