Seja a>0, a \neq 1. Mostre que
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^{h}-1}{h}=\ln a
e então calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>0 e a\neq1, vale
\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} = \ln a,
e em seguida calcular o caso particular
\lim_{x\to0}\frac{5^{x}-1}{x}.
O conteúdo principal é o limite que define a derivada da função exponencial a^x em x=0, usando a relação entre a^x e a exponencial natural e^{x}. Precisaremos também do limite clássico
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.

Passo 2

Reescrevemos a^{h} em termos da base e. Como a>0, existe \ln a tal que
a^{h} = e^{h\ln a}.
Assim, o quociente fica
\frac{a^{h}-1}{h} = \frac{e^{h\ln a}-1}{h}.

Passo 3

Fazemos a substituição t = h\ln a. Quando h\to0, claramente t\to0 também (já que \ln a é constante). Note que h = t/(\ln a). Logo,
\frac{e^{h\ln a}-1}{h} = \frac{e^{t}-1}{\,t/(\ln a)\,} = \frac{e^{t}-1}{t}\,\ln a.

Passo 4

Aplicamos o limite clássico da exponencial natural:
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Portanto,
\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} = \biggl(\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}\biggr)\,\ln a = 1\cdot\ln a = \ln a.

Passo 5

Para o caso particular a=5, basta substituir a por 5 no resultado. Assim,
\lim_{x\to0}\frac{5^{x}-1}{x} = \ln 5.

Resposta

\displaystyle \ln a e, no caso a=5, \displaystyle \ln 5.

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