Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos \left(x^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\cos\bigl(x^n\bigr)
O conteúdo principal é a regra da cadeia, e vamos precisar também da derivada da função cosseno e da função potência.

Passo 2

Identificamos uma composição de funções. Defina
u(x)=x^n,
de modo que
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\bigl(\cos(u)\bigr)'= -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x)=x^n usando a regra da potência:
u'(x)=n\,x^{n-1}.
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x)=-\sin\bigl(x^n\bigr)\,\bigl(n\,x^{n-1}\bigr)=-n\,x^{n-1}\,\sin\bigl(x^n\bigr).

Resposta

f'(x)=-n\,x^{n-1}\,\sin\bigl(x^n\bigr).

Exercícios relacionados