Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
h(x)=x^{2} e^{-1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=x^{2}e^{-1/x}.
Informações dadas:
  • A função é apresentada explicitamente como produto de x^{2} por e^{-1/x}.
  • Não há indicação de valor no ponto x=0; observe que a expressão -1/x exige x\neq0.
O que se pede: encontrar h'(x) (a derivada de h) para os pontos onde a função está bem definida.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são quaisquer funções diferenciáveis; u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v.
  • Regra da cadeia (no contexto do exponencial): se v(x)=e^{w(x)}, então
v'(x)=e^{w(x)}\cdot w'(x).
Ou seja, deriva-se o exponencial normalmente e multiplica-se pela derivada da função interna w(x).
Exemplo rápido e simples para fixar a cadeia: se v(x)=e^{x^2}, então w(x)=x^2 e w'(x)=2x, logo v'(x)=2x e^{x^2}.

Passo 3

Identificar as partes do produto em h(x):
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{-1/x}.
Vamos aplicar a regra do produto:
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x) com v(x)=e^{-1/x}. Use a regra da cadeia: tome a função interna
w(x)=-\frac{1}{x}=-x^{-1}.
Calcule w'(x). Como \dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}, então
w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1}\bigr)=-\bigl(-x^{-2}\bigr)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.
Agora aplica-se a cadeia para v:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{w(x)}\bigr)=e^{w(x)}\cdot w'(x)=e^{-1/x}\cdot\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Substituindo u'(x), v(x) e v'(x) na fórmula do produto, obtemos
h'(x)=2x\cdot e^{-1/x}+x^{2}\cdot\Bigl(e^{-1/x}\cdot\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Simplifique termo a termo: no segundo termo x^{2} cancela com \dfrac{1}{x^{2}}, ficando apenas e^{-1/x}. Assim
h'(x)=2x\,e^{-1/x}+e^{-1/x}.

Passo 6

Fatorando e^{-1/x} para uma forma mais limpa:
h'(x)=e^{-1/x}\bigl(2x+1\bigr).
Lembrete final sobre domínio: todas as contas foram feitas assumindo x\neq0, que é onde a função original está definida. Portanto a expressão acima vale para x\neq0.

Resposta

h'(x)=e^{-1/x}\bigl(2x+1\bigr),\quad x\neq0

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