Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é apresentada explicitamente como produto de
por . - Não há indicação de valor no ponto
; observe que a expressão exige .
O que se pede: encontrar
(a derivada de
) para os pontos onde a função está bem definida.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são quaisquer funções diferenciáveis;
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Regra da cadeia (no contexto do exponencial): se
, então
Ou seja, deriva-se o exponencial normalmente e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Exemplo rápido e simples para fixar a cadeia: se
, então
e
, logo
.
Passo 3
Identificar as partes do produto em
:
Vamos aplicar a regra do produto:
Calcule
:
Passo 4
Agora precisamos de
com
. Use a regra da cadeia: tome a função interna
Calcule
. Como
, então
Agora aplica-se a cadeia para
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na fórmula do produto, obtemos
Simplifique termo a termo: no segundo termo
cancela com
, ficando apenas
. Assim
Passo 6
Fatorando
para uma forma mais limpa:
Lembrete final sobre domínio: todas as contas foram feitas assumindo
, que é onde a função original está definida. Portanto a expressão acima vale para
.