Questão 4. Use a noção de Derivada da Função Inversa para determinar a derivada de f(x)=\operatorname{arctg}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big).
  • A tarefa: calcular f'(x).
Pergunta clara: qual é a expressão de f'(x) em termos de x?

Passo 2

Lembrete/ferramenta principal — derivada da função inversa (explicação didática).
  • Se g é uma função diferenciável e bijetora num intervalo e g^{-1} é sua inversa, então a derivada de g^{-1} em um ponto u é dada por
\big(g^{-1}\big)'(u)=\frac{1}{g'\big(g^{-1}(u)\big)}.
  • Por que isso vale? Seja y=g^{-1}(u). Então g(y)=u. Derivando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u) obtemos
g'(y)\,\frac{dy}{du}=1,
logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{g'(y)}=\frac{1}{g'\big(g^{-1}(u)\big)}.
  • Aplicando isso ao caso da arctangente: tomando g(y)=\tan y e g^{-1}(u)=\operatorname{arctg}(u). Sabendo que
\frac{d}{dy}\tan y=\operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y,
substituímos y=\operatorname{arctg}(u) e usamos \tan(\operatorname{arctg}(u))=u. Assim obtemos a fórmula clássica
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
  • Observação das variáveis: aqui u é a variável de entrada da função inversa (no nosso problema será a expressão interna \sqrt{x^{2}+1}).

Passo 3

Derivada da função interna (explicação detalhada).
  • Defina a função interna h(x)=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{1/2}.
  • Use a regra da cadeia + regra da potência: para h(x)=(x^{2}+1)^{1/2},
h'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1).
  • Calcule a derivada de x^{2}+1: \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
  • Substituindo,
h'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
  • Interpretação: h'(x) fala a velocidade de crescimento da raiz quadrada composta; quando x=0 obtemos h'(0)=0, por exemplo.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=\operatorname{arctg}\big(h(x)\big).
  • A regra da cadeia diz que, se f(x)=\varphi(h(x)), então
f'(x)=\varphi'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • Aqui \varphi(u)=\operatorname{arctg}(u) e já vimos que \varphi'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Substituindo u=h(x)=\sqrt{x^{2}+1} e usando h'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}, obtemos
f'(x)=\frac{1}{1+\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Simplificação algébrica final (passo a passo).
  • Note que \big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}=x^{2}+1.
  • Então 1+\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}=1+(x^{2}+1)=x^{2}+2.
  • Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{(x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+1}}.
  • Verificação rápida de consistência: f é função par (pois depende de \sqrt{x^{2}+1}), logo sua derivada deve ser ímpar; a expressão encontrada é uma função ímpar em x — coerente.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{x}{(x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+1}}

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