Questão 4. Use a noção de Derivada da Função Inversa para determinar a derivada de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa: calcular
.
Pergunta clara: qual é a expressão de
em termos de
?
Passo 2
Lembrete/ferramenta principal — derivada da função inversa (explicação didática).
- Se
é uma função diferenciável e bijetora num intervalo e é sua inversa, então a derivada de em um ponto é dada por
- Por que isso vale? Seja
. Então . Derivando ambos os lados em relação a (tratando como função de ) obtemos
logo
- Aplicando isso ao caso da arctangente: tomando
e . Sabendo que
substituímos
e usamos
. Assim obtemos a fórmula clássica
- Observação das variáveis: aqui
é a variável de entrada da função inversa (no nosso problema será a expressão interna ).
Passo 3
Derivada da função interna (explicação detalhada).
- Defina a função interna
. - Use a regra da cadeia + regra da potência: para
,
- Calcule a derivada de
: . - Substituindo,
- Interpretação:
fala a velocidade de crescimento da raiz quadrada composta; quando obtemos , por exemplo.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
.
- A regra da cadeia diz que, se
, então
- Aqui
e já vimos que . - Substituindo
e usando , obtemos
Passo 5
Simplificação algébrica final (passo a passo).
- Note que
. - Então
. - Substituindo na expressão de
:
- Verificação rápida de consistência:
é função par (pois depende de ), logo sua derivada deve ser ímpar; a expressão encontrada é uma função ímpar em — coerente.