Utilizando a Regra da Cadeia, calcule f^prime(x), sendo
f(x)=(x^2+1)^2(x^3-2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^2+1r)^2,l(x^3-2xr)^2
Aqui vamos usar duas ferramentas principais: a Regra do Produto (para derivar o produto de duas funções) e a Regra da Cadeia (para derivar cada fator elevado ao quadrado).

Passo 2

Identificamos as duas funções cujo produto forma f(x):
u(x)=l(x^2+1r)^2 e v(x)=l(x^3-2xr)^2
Pela Regra do Produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x) aplicando a Regra da Cadeia em l(x^2+1r)^2.
Seja g(x)=x^2+1 e u(x)=l(g(x)r)^2. Então
u'(x)=2,g(x)cdot g'(x) =2,(x^2+1)cdot(2x) =4x,(x^2+1)

Passo 4

Agora calculamos v'(x) em l(x^3-2xr)^2. Seja h(x)=x^3-2x e v(x)=l(h(x)r)^2. Então
v'(x)=2,h(x)cdot h'(x) =2,(x^3-2x)cdot(3x^2-2)

Passo 5

Substituindo u'(x), v(x), u(x) e v'(x) na Regra do Produto, obtemos
f'(x) &=4x,(x^2+1),l(x^3-2xr)^2 +l(x^2+1r)^2,2,(x^3-2x),(3x^2-2)

Passo 6

Para simplificar, fatoramos o máximo em comum: 2,(x^2+1),(x^3-2x).
f'(x) &=2,(x^2+1),(x^3-2x)l[2x,(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2)r]
Dentro dos colchetes:
2x,(x^3-2x)=2x^4-4x^2, (x^2+1)(3x^2-2)=3x^4+x^2-2
Somando:
2x^4-4x^2+3x^4+x^2-2 =5x^4-3x^2-2

Passo 7

Portanto a forma final simplificada é

Resposta

f'(x) =2,(x^2+1),(x^3-2x),l(5x^4-3x^2-2r)

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