Em cada item, calcule a integral.
integral0^y(sen(2 x+y)-sen(x+y)) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^yl(sin(2x+y)-sin(x+y)r),dx,
em que y é tratado como parâmetro. Vamos usar as fórmulas de antiderivada de funções do tipo sin(ax+b).

Passo 2

Separe a integral em duas:
integral0^ysin(2x+y),dx ;-; integral0^ysin(x+y),dx
Para cada parte vale a fórmula
integral sin(ax+b),dx = -1acos(ax+b).

Passo 3

As antiderivadas correspondentes são
integral sin(2x+y),dx = -tfrac12cos(2x+y), integral sin(x+y),dx = -cos(x+y)
Portanto a integral original é
l[-tfrac12cos(2x+y)+cos(x+y)r]x=0^x=y

Passo 4

Avalie em x=y e em x=0:
l(-tfrac12cos(3y)+cos(2y)r) -l(-tfrac12cos(y)+cos(y)r) = -tfrac12cos(3y)+cos(2y)+tfrac12cos(y)-cos(y)
Reagrupando,
-tfrac12cos(3y)+cos(2y)-tfrac12cos(y)

Passo 5

Podemos usar a identidade
cos(3y)+cos(y)=2cos(2y)cos(y)
para obter uma forma mais compacta:
cos(2y)-cos(2y)cos(y) = cos(2y)l(1-cos(y)r)

Resposta

integral0^yl(sin(2x+y)-sin(x+y)r),dx = -tfrac12cos(3y)+cos(2y)-tfrac12cos(y) = cos(2y)l(1-cos(y)r)

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