\mathbf{3}^{\text {a }} Questão (2 pontos): Determine se as seqüências convergem ou divergem, justificando:
\left(\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right); (1 ponto)

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{n^{2}}{2n-1} \;-\;\frac{n^{2}}{2n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência de expressão racional. Vamos usar o método de combinar frações e, em seguida, dividir numerador e denominador pelo maior grau em n para calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, combinamos as duas frações sobre um mesmo denominador:
a_n = \frac{n^{2}(2n+1) \;-\; n^{2}(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n^{2}\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr]}{4n^{2}-1} = \frac{2\,n^{2}}{4n^{2}-1}.

Passo 3

Para encontrar \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por n^2:
a_n = \frac{2\,n^{2}}{4n^{2}-1} = \frac{2}{4 \;-\; 1/n^{2}}.
Como \lim_{n\to\infty}1/n^{2}=0, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{2}{4 - 0} = \frac12.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \tfrac12.

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