Se
e
são matrizes
tal que
e
; use as propriedades do determinante para calcular:
)
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes
e informa os valores dos determinantes:
A pergunta é: calcular
. Vou usar apenas essas informações sem pedir nada a mais.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades do determinante que vou usar (aquelas fórmulas que caem sempre em prova):\n
- Para uma matriz quadrada de ordem
e um escalar ,
Aqui
é um número (escalar),
é uma matriz
, e o motivo intuitivo é que multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
; como há
linhas, multiplicar a matriz inteira por
dá um fator
.\n
2) O determinante é multiplicativo:
2) O determinante é multiplicativo:
Isto permite, por indução, deduzir que para inteiro
pois
é produto de
cópias de
e aplicamos a multiplicatividade repetidas vezes.
Vou aplicar essas duas propriedades com
(porque
é
).
Passo 3
Primeiro calculemos
. Aqui a escala é
e
, então pela propriedade 1:
Expliquei antes: multiplicar a matriz
por
multiplica o determinante por
.
Passo 4
Agora substituímos
e calculamos
:
portanto
Ou seja, numericamente
.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de potências do determinante (item 2): para qualquer matriz
,
Aplicando com
obtemos
Isto vem de
(cinco fatores).
Passo 6
Como já encontramos
, elevando à quinta potência:
Portanto
.