Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular:
\operatorname{det}(-B)^{5} )

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes 4\times4 e informa os valores dos determinantes:
\det(A)=2,\qquad \det(B)=-1.
A pergunta é: calcular \det\bigl((-B)^5\bigr). Vou usar apenas essas informações sem pedir nada a mais.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades do determinante que vou usar (aquelas fórmulas que caem sempre em prova):\n
  1. Para uma matriz quadrada de ordem n e um escalar c,
\det(cM)=c^{n}\det(M).
Aqui c é um número (escalar), M é uma matriz n\times n, e o motivo intuitivo é que multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c; como há n linhas, multiplicar a matriz inteira por c dá um fator c^n.\n
2) O determinante é multiplicativo:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Isto permite, por indução, deduzir que para inteiro k\ge1
\det(M^k)=\det(M)^k,
pois M^k é produto de k cópias de M e aplicamos a multiplicatividade repetidas vezes.
Vou aplicar essas duas propriedades com n=4 (porque B é 4\times4).

Passo 3

Primeiro calculemos \det(-B). Aqui a escala é c=-1 e n=4, então pela propriedade 1:
\det(-B)=(-1)^{4}\det(B).
Expliquei antes: multiplicar a matriz B por -1 multiplica o determinante por (-1)^4.

Passo 4

Agora substituímos \det(B)=-1 e calculamos (-1)^4:
(-1)^{4}=1,
portanto
\det(-B)=1\cdot\det(B)=\det(B)=-1.
Ou seja, numericamente \det(-B)=-1.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de potências do determinante (item 2): para qualquer matriz M,
\det(M^5)=\det(M)^5.
Aplicando com M=-B obtemos
\det\bigl((-B)^5\bigr)=\bigl(\det(-B)\bigr)^{5}.
Isto vem de \det((-B)^5)=\det((-B)\cdot(-B)\cdots(-B))=\det(-B)\cdot\det(-B)\cdots\cdot\det(-B) (cinco fatores).

Passo 6

Como já encontramos \det(-B)=-1, elevando à quinta potência:
\bigl(\det(-B)\bigr)^{5}=(-1)^{5}=-1.
Portanto \det\bigl((-B)^5\bigr)=-1.

Resposta

-1

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