Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
g(x)=\left(x^{2}+x+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de g. As informações dadas são:
g(x)=\left(x^{2}+x+1\right)^{5}.
O pedido é encontrar g'(x) (a derivada de g em relação a x).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar com calma.
Se uma função é composta, isto é, se podemos escrever g(x)=f(u(x)) com u dependente de x, então a derivada de g é dada por
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • f'(u) é a derivada da função externa f em relação à sua variável u;
  • u'(x) é a derivada da função interna u em relação a x.
    Essa fórmula é a essência da regra da cadeia: derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
Também usaremos a regra da potência (caso especial que aparece dentro da cadeia): para f(u)=u^{n} com n constante,
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}.
Nesta fórmula, u é a variável da função externa e n é o expoente.

Passo 3

Identificar externa e interna no problema:
  • Função interna: \displaystyle u(x)=x^{2}+x+1.
  • Função externa: \displaystyle f(u)=u^{5}.
Assim g(x)=f\bigl(u(x)\bigr).

Passo 4

Derivar a função externa em relação a u usando a regra da potência:
f'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{5}\bigr)=5\,u^{4}.
Expliquei: coloquei o expoente 5 na frente e diminuí o expoente em 1, resultando em 5u^{4}.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=x^{2}+x+1 termo a termo:
  • Derivada de \,x^{2}\, é \,2x\, (pela regra da potência: 2x^{1}).
  • Derivada de \,x\, é \,1\,.
  • Derivada de \,1\, (constante) é 0.
Portanto
u'(x)=2x+1.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: multiplicar f'(u(x)) por u'(x).
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\bigl(5\,u^{4}\bigr)\cdot(2x+1).
Agora substituir u(x)=x^{2}+x+1:
g'(x)=5\bigl(x^{2}+x+1\bigr)^{4}\,(2x+1).
Essa forma fatorada é prática na prova e geralmente a mais recomendada (menos trabalho algébrico).

Resposta

g'(x)=5\bigl(x^{2}+x+1\bigr)^{4}(2x+1)

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