Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. As informações dadas são:
O pedido é encontrar
(a derivada de
em relação a
).
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar com calma.
Se uma função é composta, isto é, se podemos escrever
com
dependente de
, então a derivada de
é dada por
Aqui:
-
é a derivada da função externa em relação à sua variável ; -
é a derivada da função interna em relação a .
Essa fórmula é a essência da regra da cadeia: derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
Também usaremos a regra da potência (caso especial que aparece dentro da cadeia): para
com
constante,
Nesta fórmula,
é a variável da função externa e
é o expoente.
Passo 3
Identificar externa e interna no problema:
- Função interna:
- Função externa:
Assim
.
Passo 4
Derivar a função externa em relação a
usando a regra da potência:
Expliquei: coloquei o expoente
na frente e diminuí o expoente em
, resultando em
.
Passo 5
Derivar a função interna
termo a termo:
- Derivada de
é (pela regra da potência: ). - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: multiplicar
por
.
Agora substituir
:
Essa forma fatorada é prática na prova e geralmente a mais recomendada (menos trabalho algébrico).