Utilizando a regra do quociente, derive a função f(x)=e^x-1-x-x^2x^3.

Passo 1

Temos a função f(x)=e^x-1-x-x^2x^3. O conteúdo aqui é derivada de quociente, e vamos precisar usar a regra do quociente junto com as derivadas de e^x e de potências.

Passo 2

Definimos as funções u(x)=e^x-1-x-x^2 e v(x)=x^3. Então suas derivadas são dadas por
u'(x)=e^x-1-2x (derivada de e^x é e^x, de -x é -1 e de -x^2 é -2x) e
v'(x)=3x^2 (derivada de x^3 é 3x^2).

Passo 3

A regra do quociente diz:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituindo u,u',v,v' na fórmula, desenvolvemos o numerador passo a passo:
u'(x)v(x)=(e^x-1-2x)x^3=x^3e^x-x^3-2x^4,
u(x)v'(x)=(e^x-1-x-x^2)cdot3x^2=3x^2e^x-3x^2-3x^3-3x^4,
e então
f'(x)=x^3e^x-x^3-2x^4-(3x^2e^x-3x^2-3x^3-3x^4)x^6

Passo 5

Observamos que todos os termos do numerador têm fator x^2. Fatorando:
numerador=x^2l[e^x(x-3)+x^2+2x+3r]
e o denominador é x^6. Cancelando x^2 em cima e embaixo, o expoente no denominador vai de 6 para 4.

Resposta

f'(x)=e^x(x-3)+x^2+2x+3x^4

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