Dê um exemplo em cada caso.
Uma função
tal que
para todo
.
Uma função
Passo 1
O enunciado pede um exemplo (ou exemplos) de função
tal que
para todo
. Informações relevantes dadas:
- A condição exigida é
para todo no domínio . - Não foi especificado que
deva ser um intervalo; portanto podem existir diferentes tipos de domínio (conectado ou desconectado).
A resolução começa a seguir mostrando exemplos e justificando passo a passo por que a derivada é nula em todo o domínio em cada exemplo.
Passo 2
Exemplo 1: função constante em um domínio conectado (por exemplo,
). Definimos
onde
é uma constante real qualquer. Vou mostrar por que
para todo
.
Passo 3
Prova direta (definição) de que a derivada de uma constante é zero. A derivada em um ponto
é
Como
é constante,
e
, então o numerador é
para todo
. Assim
Portanto, para a função definida no Passo 2 temos
para todo
. Observação importante: essa função é globalmente constante.
Passo 4
Teorema útil (explicado de forma simples): se
é diferenciável em todo um intervalo (isto é, o domínio é um intervalo) e
para todo
nesse intervalo, então
é constante nesse intervalo. Intuição: derivada zero significa que a taxa de variação é nula; em um intervalo contínuo isso impede variação entre pontos. Formalmente isso vem do Teorema do Valor Médio (se quiser, repito a demonstração), mas a ideia prática para provas de prova é: derivative zero ⇒ não há aumento nem diminuição local ⇒ função constante em cada componente conectada do domínio.
Passo 5
Exemplo 2: função com derivada nula em todo o domínio, mas não constante globalmente porque o domínio é desconexo. Definimos o domínio e a função:
Agora justifico por que
para todo
.]
Passo 6
Justificativa da derivabilidade e do valor da derivada no Exemplo 2. Tome um ponto
.
- Se
, então existe um intervalo aberto centrado em totalmente contido em ; dentro desse intervalo é a constante . Pela mesma conta do Passo 3, a derivada naquele ponto é . - Se
, análogo: existe um intervalo aberto centrado em contido em onde é constante igual a , então .
Portantopara todo . Note que a função não é constante em todo porque assume valores diferentes nas duas componentes conectadas do domínio ( à esquerda de e à direita de ).
Passo 7
Resumo conceitual final para a prova (como usar isso na hora): se o domínio for um intervalo (ou mais generally, uma componente conectada), então
em todo o domínio implica que
é constante ali — aí o exemplo padrão é
. Se o domínio for desconexo, você pode construir funções que são constantes em cada componente, com constantes possivelmente diferentes; assim
em todo o domínio, mas
pode não ser globalmente constante. Esses dois tipos de exemplos são frequentemente pedidos para mostrar que a hipótese sobre o domínio é relevante.
Resposta
(aqui
para todo
, mas
não é constante em todo
).]