Dê um exemplo em cada caso.
Uma função f tal que f^{\prime}(x)=0 para todo x \in D_{f}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo (ou exemplos) de função f tal que f'(x)=0 para todo x\in D_{f}. Informações relevantes dadas:
  • A condição exigida é f'(x)=0 para todo x no domínio D_{f}.
  • Não foi especificado que D_{f} deva ser um intervalo; portanto podem existir diferentes tipos de domínio (conectado ou desconectado).
    A resolução começa a seguir mostrando exemplos e justificando passo a passo por que a derivada é nula em todo o domínio em cada exemplo.

Passo 2

Exemplo 1: função constante em um domínio conectado (por exemplo, D_{f}=\mathbb{R}). Definimos
f(x)=c,\quad \text{para todo }x\in\mathbb{R},
onde c é uma constante real qualquer. Vou mostrar por que f'(x)=0 para todo x.

Passo 3

Prova direta (definição) de que a derivada de uma constante é zero. A derivada em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Como f é constante, f(x+h)=c e f(x)=c, então o numerador é c-c=0 para todo h\neq0. Assim
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0.
Portanto, para a função definida no Passo 2 temos f'(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}. Observação importante: essa função é globalmente constante.

Passo 4

Teorema útil (explicado de forma simples): se f é diferenciável em todo um intervalo (isto é, o domínio é um intervalo) e f'(x)=0 para todo x nesse intervalo, então f é constante nesse intervalo. Intuição: derivada zero significa que a taxa de variação é nula; em um intervalo contínuo isso impede variação entre pontos. Formalmente isso vem do Teorema do Valor Médio (se quiser, repito a demonstração), mas a ideia prática para provas de prova é: derivative zero ⇒ não há aumento nem diminuição local ⇒ função constante em cada componente conectada do domínio.

Passo 5

Exemplo 2: função com derivada nula em todo o domínio, mas não constante globalmente porque o domínio é desconexo. Definimos o domínio e a função:
D_{f}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)
f(x)=\begin{cases} 1, & x<0,\\[4pt] 2, & x>0. \end{cases}
Agora justifico por que f'(x)=0 para todo x\in D_{f}.]

Passo 6

Justificativa da derivabilidade e do valor da derivada no Exemplo 2. Tome um ponto a\in D_{f}.
  • Se a>0, então existe um intervalo aberto centrado em a totalmente contido em (0,\infty); dentro desse intervalo f é a constante 2. Pela mesma conta do Passo 3, a derivada naquele ponto é 0.
  • Se a<0, análogo: existe um intervalo aberto centrado em a contido em (-\infty,0) onde f é constante igual a 1, então f'(a)=0.
    Portanto f'(x)=0 para todo x\in D_{f}. Note que a função não é constante em todo D_{f} porque assume valores diferentes nas duas componentes conectadas do domínio ( 1 à esquerda de 0 e 2 à direita de 0).

Passo 7

Resumo conceitual final para a prova (como usar isso na hora): se o domínio for um intervalo (ou mais generally, uma componente conectada), então f'(x)=0 em todo o domínio implica que f é constante ali — aí o exemplo padrão é f(x)=c. Se o domínio for desconexo, você pode construir funções que são constantes em cada componente, com constantes possivelmente diferentes; assim f'(x)=0 em todo o domínio, mas f pode não ser globalmente constante. Esses dois tipos de exemplos são frequentemente pedidos para mostrar que a hipótese sobre o domínio é relevante.

Resposta

f(x)=c\), para todo \(x\in\mathbb{R}\), onde \(c\) é constante (aqui \(f'(x)=0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\)). \(D_{f}=(-\infty,0)\cup(0,\infty),\quad f(x)=\begin{cases}1,&x<0,\\[4pt]2,&x>0,\end{cases} (aqui f'(x)=0 para todo x\in D_{f}, mas f não é constante em todo D_{f}).]

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