Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=x^{5}+x^{4}+3 x^{2}-7 x-6

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{5}+x^{4}+3 x^{2}-7 x-6
e pede para calcular a derivada de f em relação a x. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Termos: }x^{5},\; x^{4},\; 3x^{2},\; -7x,\; -6.
A tarefa é aplicar regras de derivação a cada termo e somar os resultados.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (cada fórmula com explicação simples):
\frac{d}{dx}\bigl[g(x)+h(x)\bigr]=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x)
(derivada da soma = soma das derivadas);
\frac{d}{dx}\bigl[c\cdot g(x)\bigr]=c\cdot\frac{d}{dx}g(x)
(constante c pode ser puxada para fora da derivada);
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}
(regra do expoente: para número inteiro n, a derivada de x^{n} é n vezes x elevado a n-1);
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0
(derivada de constante é zero).
Aqui g(x) e h(x) são funções de x, c é uma constante e n é o expoente.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \,x^{5}.
Aplicando a regra do expoente com n=5:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5\,x^{4}.
Explicação: multiplicamos pelo expoente 5 e diminuímos o expoente em 1.

Passo 4

Derivada do segundo termo \,x^{4}.
Aplicando a regra do expoente com n=4:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4\,x^{3}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \,3x^{2}.
Usamos a regra da constante multiplicativa e a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x)=6x.
Detalhe: primeiro derivamos x^{2} (que vira 2x), depois multiplicamos por 3.

Passo 6

Derivada do quarto termo \,-7x.
Aqui x tem expoente 1, então:
\frac{d}{dx}\bigl(-7x\bigr)=-7\cdot\frac{d}{dx}(x)=-7\cdot 1=-7.

Passo 7

Derivada do quinto termo (constante) \,-6.
Pela regra da constante:
\frac{d}{dx}(-6)=0.

Passo 8

Agora somamos todas as derivadas (regra da linearidade):
f'(x)=5x^{4}+4x^{3}+6x-7+0.
Simplificando (removendo o +0):
f'(x)=5x^{4}+4x^{3}+6x-7.

Resposta

f'(x)=5x^{4}+4x^{3}+6x-7

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