Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=\frac{11}{x^{5}}-\frac{1}{6} x^{4}

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada da função f(x)=\frac{11}{x^{5}}-\frac{1}{6} x^{4}.
Pergunta que o exercício faz: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.
Informações relevantes dadas: a função é composta por duas parcelas — uma com potência negativa de x (pois \frac{11}{x^{5}}) e outra com potência positiva ( -\frac{1}{6}x^{4}). Note que a expressão \frac{11}{x^{5}} requer x\neq 0 no domínio.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função de forma mais conveniente para derivar, usando potência com expoente negativo. A regra é \displaystyle \frac{1}{x^{5}}=x^{-5}. Assim,
f(x)=11x^{-5}-\frac{1}{6}x^{4}.

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicadas com calma):
  1. Regra da potência: para uma função \;x^{n}\; (onde n é qualquer número real), a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isto significa: pega o expoente n, multiplica a função por n e diminui o expoente em 1. Exemplo simples: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  1. Regra do múltiplo constante: se você tem uma constante c multiplicando uma função g(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
Ou seja, a constante sai da derivada.
  1. Linearidade (soma/diferença): a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x).
Usando essas regras conseguimos derivar termo a termo.

Passo 4

Derivada do primeiro termo 11x^{-5}. Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
  • O expoente é -5. Pela regra da potência, \frac{d}{dx}(x^{-5})=-5x^{-6}.
  • Multiplicando pela constante 11,
\frac{d}{dx}\bigl(11x^{-5}\bigr)=11\cdot(-5)x^{-6}=-55x^{-6}.
Se preferir escrever com fração positiva no denominador, isso é
-55x^{-6}=-\frac{55}{x^{6}}.

Passo 5

Derivada do segundo termo -\frac{1}{6}x^{4}. Novamente usamos a constante e a regra da potência:
  • A derivada de x^{4} é 4x^{3}.
  • Multiplicando pela constante -\frac{1}{6},
\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{1}{6}x^{4}\Bigr)=-\frac{1}{6}\cdot 4x^{3}=-\frac{4}{6}x^{3}.
Simplificando a fração -\frac{4}{6} obtemos -\frac{2}{3}. Portanto
\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{1}{6}x^{4}\Bigr)=-\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (regra da linearidade), obtemos a derivada total:
f'(x)=-55x^{-6}-\frac{2}{3}x^{3}.
Se preferir com denominador em potências positivas para o primeiro termo:
f'(x)=-\frac{55}{x^{6}}-\frac{2}{3}x^{3}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{55}{x^{6}}-\frac{2}{3}x^{3}

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