Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
Enunciado: calcular a derivada da função
.
Pergunta que o exercício faz: encontrar , a derivada de
em função de
.
Informações relevantes dadas: a função é composta por duas parcelas — uma com potência negativa de (pois
) e outra com potência positiva (
). Note que a expressão
requer
no domínio.
Pergunta que o exercício faz: encontrar
Informações relevantes dadas: a função é composta por duas parcelas — uma com potência negativa de
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função de forma mais conveniente para derivar, usando potência com expoente negativo. A regra é
. Assim,
Passo 3
Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicadas com calma):
- Regra da potência: para uma função
(onde é qualquer número real), a derivada é
Isto significa: pega o expoente
, multiplica a função por
e diminui o expoente em
. Exemplo simples:
.
- Regra do múltiplo constante: se você tem uma constante
multiplicando uma função , então
Ou seja, a constante sai da derivada.
- Linearidade (soma/diferença): a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas:
Usando essas regras conseguimos derivar termo a termo.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
. Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
- O expoente é
. Pela regra da potência, . - Multiplicando pela constante
,
Se preferir escrever com fração positiva no denominador, isso é
Passo 5
Derivada do segundo termo
. Novamente usamos a constante e a regra da potência:
- A derivada de
é . - Multiplicando pela constante
,
Simplificando a fração
obtemos
. Portanto
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (regra da linearidade), obtemos a derivada total:
Se preferir com denominador em potências positivas para o primeiro termo: