Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=2 \cdot \sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=2\cdot\sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) a função }f(x)\text{ está explicitamente indicada acima;}çãá
\text{(ii) as raízes presentes são a raiz quarta de }x\text{ e a raiz cúbica de }x^{2}.íãú
Observação importante sobre domínio (vou anotar porque afeta onde a derivada faz sentido): como aparece \sqrt[4]{x}, para trabalhar com potências racionais de forma padrão precisamos de x\ge 0. Para evitar problemas com expoentes negativos durante a derivação, consideraremos x>0 (ponto onde todas as expressões estão bem definidas e diferenciáveis).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função usando expoentes racionais (isso facilita aplicar as regras de derivação). Lembre que
\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\quad\text{e}\quad \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=x^{2/3}.
Portanto podemos escrever
f(x)=2x^{1/4}+ \frac{1}{x^{2/3}}.
E ainda \dfrac{1}{x^{2/3}}=x^{-2/3}. Logo
f(x)=2x^{1/4}+x^{-2/3}.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar (a peça central da aula rápida): a Regra da Potência.
Regra da Potência: se g(x)=x^{n}, com n um número real e x>0, então
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Explicando: a derivada de x^{n} é o expoente n multiplicando x elevado ao expoente original menos 1. Aqui n é a constante que era o expoente (por ex., para x^{3} a derivada é 3x^{2}).
Também vamos usar a Regra da Constante por Função: se h(x)=c\cdot u(x) com c constante, então
h'(x)=c\cdot u'(x).
Ou seja, constantes saem na frente da derivada.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo. Primeiro termo: 2x^{1/4}.
  • Aqui a constante multiplicativa é 2.
  • A função interna é x^{1/4} com expoente n=\tfrac{1}{4}.
    Pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\big( x^{1/4}\big)=\tfrac{1}{4}\,x^{1/4-1}=\tfrac{1}{4}\,x^{-3/4}.
Multiplicando pela constante 2:
\frac{d}{dx}\big(2x^{1/4}\big)=2\cdot \tfrac{1}{4}\,x^{-3/4}=\tfrac{1}{2}\,x^{-3/4}.
Vou explicar os passos num detalhe bem prático: subtraímos 1 do expoente 1/4 para obter -3/4, e multiplicamos por 1/4; depois multiplicamos por 2 que estava na frente.

Passo 5

Segundo termo: x^{-2/3} (que veio de \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}).
  • Aqui o expoente é n=-\tfrac{2}{3}.
    Pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2/3}\big) = -\tfrac{2}{3}\,x^{-2/3-1} = -\tfrac{2}{3}\,x^{-5/3}.
Explicando: subtraímos 1 do expoente -2/3, resultando em -2/3-1 = -5/3, e multiplicamos pelo expoente original -2/3.

Passo 6

Juntando as derivadas dos dois termos (a derivada é linear, soma das derivadas):
f'(x)=\tfrac{1}{2}\,x^{-3/4} - \tfrac{2}{3}\,x^{-5/3}.
Isso já é uma forma correta e simples. Aqui cada termo está escrito em potência para ficar claro o uso da regra da potência.

Passo 7

Se preferir, dá para reescrever em termos de raízes (evita expoentes negativos), voltando às raízes originais:
  • x^{-3/4}=\dfrac{1}{x^{3/4}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}.
  • x^{-5/3}=\dfrac{1}{x^{5/3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}.
    Assim podemos escrever
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}.
Essa forma pode ser mais intuitiva se você prefere ver raízes em vez de expoentes fracionários.

Passo 8

Resumo prático para a prova: passos que você deve seguir sempre que aparecer algo com raízes e potências
  1. Reescreva raízes como potências racionais.
  2. Use a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  3. Aplique termo a termo e simplifique expoentes.
  4. Se quiser, volte a representar em forma de raízes no final.

Resposta

f'(x)=\tfrac{1}{2}\,x^{-3/4}-\tfrac{2}{3}\,x^{-5/3}

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