Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
Observação importante sobre domínio (vou anotar porque afeta onde a derivada faz sentido): como aparece
, para trabalhar com potências racionais de forma padrão precisamos de
. Para evitar problemas com expoentes negativos durante a derivação, consideraremos
(ponto onde todas as expressões estão bem definidas e diferenciáveis).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função usando expoentes racionais (isso facilita aplicar as regras de derivação). Lembre que
Portanto podemos escrever
E ainda
. Logo
Passo 3
Agora a regra que vamos usar (a peça central da aula rápida): a Regra da Potência.
Regra da Potência: se
, com
um número real e
, então
Explicando: a derivada de
é o expoente
multiplicando
elevado ao expoente original menos
. Aqui
é a constante que era o expoente (por ex., para
a derivada é
).
Também vamos usar a Regra da Constante por Função: se
com
constante, então
Ou seja, constantes saem na frente da derivada.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo. Primeiro termo:
.
- Aqui a constante multiplicativa é
. - A função interna é
com expoente .
Pela regra da potência:
Multiplicando pela constante
:
Vou explicar os passos num detalhe bem prático: subtraímos
do expoente
para obter
, e multiplicamos por
; depois multiplicamos por
que estava na frente.
Passo 5
Segundo termo:
(que veio de
).
- Aqui o expoente é
.
Pela regra da potência:
Explicando: subtraímos
do expoente
, resultando em
, e multiplicamos pelo expoente original
.
Passo 6
Juntando as derivadas dos dois termos (a derivada é linear, soma das derivadas):
Isso já é uma forma correta e simples. Aqui cada termo está escrito em potência para ficar claro o uso da regra da potência.
Passo 7
Se preferir, dá para reescrever em termos de raízes (evita expoentes negativos), voltando às raízes originais:
-
. -
.
Assim podemos escrever
Essa forma pode ser mais intuitiva se você prefere ver raízes em vez de expoentes fracionários.
Passo 8
Resumo prático para a prova: passos que você deve seguir sempre que aparecer algo com raízes e potências
- Reescreva raízes como potências racionais.
- Use a regra da potência:
. - Aplique termo a termo e simplifique expoentes.
- Se quiser, volte a representar em forma de raízes no final.