Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada em relação a
:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, isto é, a derivada de em função de .
Passo 2
Lembrete da definição de derivada (vai ser a ferramenta base que usamos):
Explicando cada coisa nessa fórmula:
-
é a derivada de no ponto (a inclinação da reta tangente a em ). -
é um incremento pequeno em ; tomamos o quociente das diferenças e depois fazemos tender a zero. - A expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial ou diferença quociente.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso
. Primeiro escrevemos
:
Para expandir
usamos o Teorema do Binômio de Newton:
Escrevendo os primeiros termos explícitos (os mais importantes para o que vem a seguir):
Aqui
,
, etc. Não é preciso listar todos os termos; o que importa é ver que o único termo sem fator
é
e o primeiro termo que aparece multiplicado por
é
.
Passo 4
Calcular o quociente das diferenças:
Substituindo a expansão do passo anterior:
Fatorando
no numerador e simplificando:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Todos os termos que contêm
tendem a zero porque
vai para zero e os
-dependentes são fixos nesse limite. Assim, na expressão
os termos com
desaparecem no limite, sobrando apenas o termo constante em
.