Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=t^{10}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada em relação a t:
  • Função dada: f(t)=t^{10}.
  • Pedido: calcular f'(t), isto é, a derivada de f em função de t.

Passo 2

Lembrete da definição de derivada (vai ser a ferramenta base que usamos):
f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}.
Explicando cada coisa nessa fórmula:
  • f'(t) é a derivada de f no ponto t (a inclinação da reta tangente a f em t).
  • h é um incremento pequeno em t; tomamos o quociente das diferenças e depois fazemos h tender a zero.
  • A expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial ou diferença quociente.

Passo 3

Aplicar a definição ao caso f(t)=t^{10}. Primeiro escrevemos f(t+h):
(t+h)^{10}.
Para expandir (t+h)^{10} usamos o Teorema do Binômio de Newton:
(t+h)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}t^{10-k}h^{k}.
Escrevendo os primeiros termos explícitos (os mais importantes para o que vem a seguir):
(t+h)^{10}=t^{10}+10\,t^{9}h+45\,t^{8}h^{2}+\cdots + h^{10}.
Aqui \binom{10}{1}=10, \binom{10}{2}=45, etc. Não é preciso listar todos os termos; o que importa é ver que o único termo sem fator h é t^{10} e o primeiro termo que aparece multiplicado por h é 10\,t^{9}h.

Passo 4

Calcular o quociente das diferenças:
\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{(t+h)^{10}-t^{10}}{h}.
Substituindo a expansão do passo anterior:
\frac{(t+h)^{10}-t^{10}}{h}=\frac{10\,t^{9}h+45\,t^{8}h^{2}+\cdots + h^{10}}{h}.
Fatorando h no numerador e simplificando:
\frac{(t+h)^{10}-t^{10}}{h}=10\,t^{9}+45\,t^{8}h+\cdots + h^{9}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Todos os termos que contêm h tendem a zero porque h vai para zero e os t-dependentes são fixos nesse limite. Assim, na expressão
10\,t^{9}+45\,t^{8}h+\cdots + h^{9},
os termos com h desaparecem no limite, sobrando apenas o termo constante em h.

Resposta

f'(t)=10\,t^{9}

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