Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informação dada: a função é .
Objetivo: encontrar , a derivada de
em função de
.
Informação dada: a função é
Objetivo: encontrar
Passo 2
O que é derivada, em palavras simples: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
— geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
. Formalmente, uma definição por limite é
Não vamos usar esse limite diretamente para todo caso, mas é bom ter a ideia do que a derivada representa.
Passo 3
Regra que vamos usar (constante multiplicativa): se
é diferenciável e
é constante, então
Intuição: multiplicar a função por uma constante multiplica também a sua taxa de variação pela mesma constante. Essa é uma regra básica e muito útil.
Passo 4
Outra regra que vamos usar (regra da potência): para
inteiro positivo,
Explicação curta para
(caso da nossa função): usando a definição por limites,
Expandindo o numerador:
Dividindo por
:
Fazendo
obtemos
. Logo
. Isso mostra o caso específico
da regra da potência.
Passo 5
Agora aplique as regras à função
. Escrevendo
como constante vezes potência:
Pela regra da constante multiplicativa,
Pela regra da potência (caso
) já demonstrada,
Passo 6
Substituindo na expressão de
:
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente a
no ponto
é
. Por exemplo, em
a inclinação é
; em
a inclinação é
.