Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
h(x)=5 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função h(x)=5x^{2}.
Informação dada: a função é h(x)=5x^{2}.
Objetivo: encontrar h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

O que é derivada, em palavras simples: a derivada h'(x) mede a taxa de variação instantânea de h em relação a x — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de h no ponto de abscissa x. Formalmente, uma definição por limite é
h'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.
Não vamos usar esse limite diretamente para todo caso, mas é bom ter a ideia do que a derivada representa.

Passo 3

Regra que vamos usar (constante multiplicativa): se f(x) é diferenciável e c é constante, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
Intuição: multiplicar a função por uma constante multiplica também a sua taxa de variação pela mesma constante. Essa é uma regra básica e muito útil.

Passo 4

Outra regra que vamos usar (regra da potência): para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicação curta para n=2 (caso da nossa função): usando a definição por limites,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}.
Expandindo o numerador:
(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}.
Dividindo por \Delta x:
\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=2x+\Delta x.
Fazendo \Delta x\to0 obtemos 2x. Logo \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Isso mostra o caso específico n=2 da regra da potência.

Passo 5

Agora aplique as regras à função h. Escrevendo h como constante vezes potência:
h(x)=5\cdot x^{2}.
Pela regra da constante multiplicativa,
h'(x)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).
Pela regra da potência (caso n=2) já demonstrada,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 6

Substituindo na expressão de h'(x):
h'(x)=5\cdot(2x)=10x.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente a h no ponto x é 10x. Por exemplo, em x=1 a inclinação é 10; em x=0 a inclinação é 0.

Resposta

h'(x)=10x

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