Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f definida por
f(x)=x^{4}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{4}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

O que é derivada? Vou explicar de forma direta e útil para prova. A derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em x. A definição formal (diferença quociente) é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x.
  • h é um incremento pequeno em x.
  • O limite quando h\to 0 garante que estamos medindo a variação instantânea.

Passo 3

Escolha do método: para potências inteiras positivas como x^{4}, dá para usar a definição direta e expandir (x+h)^{4} (isso mostra de onde vem a regra da potência). Vou fazer isso passo a passo para você entender e lembrar na prova.
Usa-se o Teorema Binomial para expandir:
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}.
Nota rápida sobre os coeficientes 1,4,6,4,1: são os coeficientes binomiais \binom{4}{k} (pode decorar pela linha 4 do triângulo de Pascal).

Passo 4

Aplicando a definição da derivada com a expansão:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h} =\frac{4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}}{h}.
Dividindo termo a termo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}.
Agora aplicamos o limite quando h\to 0. Todos os termos que contêm h vão a zero, ficando apenas:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}\bigr)=4x^{3}.

Passo 5

Interpretação e regra prática (o que usar na prova): para f(x)=x^{n} com n inteiro positivo, a derivada é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
No caso n=4, isso dá f'(x)=4x^{3}. Regra mnemônica: “desce o expoente na frente e subtrai 1 do expoente”. Exemplos rápidos:
  • Se g(x)=x^{3} então g'(x)=3x^{2}.
  • Se h(x)=5x^{4} então h'(x)=5\cdot 4x^{3}=20x^{3} (constante multiplicativa sai).

Passo 6

Dica de prova e incentivo: na hora da prova, fique tranquilo — para potências inteiras use a regra da potência. Se quiser mostrar rigor, pode repetir a derivação por limite como fiz aqui. Você está indo bem; pratique com alguns exemplos rápidos que citei e vai ficar natural.

Resposta

f'(x)=4x^{3}

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