Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
O que é derivada? Vou explicar de forma direta e útil para prova. A derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em
. A definição formal (diferença quociente) é
Aqui:
-
é a derivada de no ponto . -
é um incremento pequeno em . - O limite quando
garante que estamos medindo a variação instantânea.
Passo 3
Escolha do método: para potências inteiras positivas como
, dá para usar a definição direta e expandir
(isso mostra de onde vem a regra da potência). Vou fazer isso passo a passo para você entender e lembrar na prova.
Usa-se o Teorema Binomial para expandir:
Nota rápida sobre os coeficientes
: são os coeficientes binomiais
(pode decorar pela linha 4 do triângulo de Pascal).
Passo 4
Aplicando a definição da derivada com a expansão:
Dividindo termo a termo por
:
Agora aplicamos o limite quando
. Todos os termos que contêm
vão a zero, ficando apenas:
Passo 5
Interpretação e regra prática (o que usar na prova): para
com
inteiro positivo, a derivada é
No caso
, isso dá
. Regra mnemônica: “desce o expoente na frente e subtrai 1 do expoente”. Exemplos rápidos:
- Se
então . - Se
então (constante multiplicativa sai).
Passo 6
Dica de prova e incentivo: na hora da prova, fique tranquilo — para potências inteiras use a regra da potência. Se quiser mostrar rigor, pode repetir a derivação por limite como fiz aqui. Você está indo bem; pratique com alguns exemplos rápidos que citei e vai ficar natural.