Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. A função dada é
O que o enunciado pede: calcular a derivada
usando as regras de derivação.
Observação importante de interpretação (sem te perguntar nada): vou interpretar
como o produto
(isto é, um coeficiente
multiplicando a potência
). Se a intenção fosse diferente (por exemplo
), o método é o mesmo, mudaria apenas a constante na base do logaritmo na derivada da potência.
Passo 2
Relembrando as regras e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então . - Regra do fator constante: se
com constante, então . - Derivada do logaritmo natural: para
com ,
Aqui
é o logaritmo natural; a fórmula diz que a taxa de variação de
é
.
- Derivada da função exponencial de base
: para (com fixo),
Explicando:
cresce multiplicado por
quando a variável
aumenta;
é a constante que aparece por derivar a função exponencial de base
.
- Derivada da tangente: para
,
Lembre que
, então
(identidade trigonométrica útil).
Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Usando a regra do fator constante e a derivada de
:
Explicação: multiplica-se a derivada de
por
.
Passo 4
Derivada do segundo termo
(pela interpretação feita).
Aplicando a regra do fator constante e a fórmula da derivada de
com
:
Observação: caso a expressão fosse
(isto é, base decimal
), a derivada seria
. O procedimento é análogo.
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Usando a regra do fator constante e a derivada de
:
Também poderia ser escrita como
, pois
.
Passo 6
Somando as derivadas termo a termo (regra da soma), obtemos a derivada total:
Isso encerra a diferenciação.