Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=2 \ln (x)+7.7^{x}+4 \operatorname{tg}(x)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. A função dada é
f(x)=2\ln(x)+7.7^{x}+4\operatorname{tg}(x).
O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) usando as regras de derivação.
Observação importante de interpretação (sem te perguntar nada): vou interpretar 7.7^{x} como o produto 7\cdot 7^{x} (isto é, um coeficiente 7 multiplicando a potência 7^{x}). Se a intenção fosse diferente (por exemplo (7{,}7)^{x}), o método é o mesmo, mudaria apenas a constante na base do logaritmo na derivada da potência.

Passo 2

Relembrando as regras e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se g(x)=u(x)+v(x), então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se h(x)=c\cdot u(x) com c constante, então h'(x)=c\cdot u'(x).
  • Derivada do logaritmo natural: para u(x)=\ln(x) com x>0,
u'(x)=\frac{1}{x}.
Aqui \ln é o logaritmo natural; a fórmula diz que a taxa de variação de \ln(x) é 1/x.
  • Derivada da função exponencial de base a>0: para u(x)=a^{x} (com a>0 fixo),
u'(x)=a^{x}\ln(a).
Explicando: a^{x} cresce multiplicado por \ln(a) quando a variável x aumenta; \ln(a) é a constante que aparece por derivar a função exponencial de base a.
  • Derivada da tangente: para u(x)=\tan(x),
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Lembre que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, então \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x) (identidade trigonométrica útil).
Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo 2\ln(x).
Usando a regra do fator constante e a derivada de \ln(x):
\frac{d}{dx}\big(2\ln(x)\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Explicação: multiplica-se a derivada de \ln(x) por 2.

Passo 4

Derivada do segundo termo 7\cdot 7^{x} (pela interpretação feita).
Aplicando a regra do fator constante e a fórmula da derivada de a^{x} com a=7:
\frac{d}{dx}\big(7\cdot 7^{x}\big)=7\cdot\frac{d}{dx}\big(7^{x}\big)=7\cdot\big(7^{x}\ln(7)\big)=7\cdot7^{x}\ln(7).
Observação: caso a expressão fosse (7{,}7)^{x} (isto é, base decimal 7{,}7), a derivada seria (7{,}7)^{x}\ln(7{,}7). O procedimento é análogo.

Passo 5

Derivada do terceiro termo 4\operatorname{tg}(x).
Usando a regra do fator constante e a derivada de \tan(x):
\frac{d}{dx}\big(4\operatorname{tg}(x)\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(\tan(x)\big)=4\cdot\operatorname{sec}^{2}(x).
Também poderia ser escrita como 4\big(1+\tan^{2}(x)\big), pois \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x).

Passo 6

Somando as derivadas termo a termo (regra da soma), obtemos a derivada total:
f'(x)=\frac{2}{x}+7\cdot7^{x}\ln(7)+4\operatorname{sec}^{2}(x).
Isso encerra a diferenciação.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x}+7\cdot7^{x}\ln(7)+4\operatorname{sec}^{2}(x)

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