Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
h(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{4}+\frac{\cos (x)}{3}-\frac{e^{x}}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h. A função dada é
h(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{4}+\frac{\cos(x)}{3}-\frac{e^{x}}{5}.
Pergunta concreta: calcular h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Regras básicas que vou usar (explicadas de forma direta):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Isto significa que posso derivar termo a termo.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada. Se c é constante,
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}f(x).
Isto é útil para termos como \tfrac{1}{4}\sin(x).

Passo 3

Derivadas das funções elementares que aparecem (essas são fórmulas padrão; explico o porquê em seguida):
  • A derivada do seno é o cosseno:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Intuição rápida: pequenas variações em x movem o seno, e a taxa de variação instantânea do seno é dada pelo cosseno.
  • A derivada do cosseno é o negativo do seno:
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • A derivada da exponencial e^{x} é ela mesma:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Cada fórmula indica como a função muda instantaneamente com x.

Passo 4

Agora aplico a linearidade (soma e fator constante) ao h(x). Escrevo a derivada termo a termo:
h'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{4}\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\cos(x)\right)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5}e^{x}\right).
Usando a regra do fator constante (cada constante sai da derivada):
h'(x)=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\sin(x)+\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\cos(x)-\frac{1}{5}\frac{d}{dx}e^{x}.

Passo 5

Substituo as derivadas das funções elementares que listei no Passo 3:
  • \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), então o primeiro termo vira \dfrac{1}{4}\cos(x).
  • \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), então o segundo termo vira \dfrac{1}{3}\big(-\sin(x)\big)=-\dfrac{1}{3}\sin(x).
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, então o terceiro termo vira -\dfrac{1}{5}e^{x}.
Portanto,
h'(x)=\frac{1}{4}\cos(x)-\frac{1}{3}\sin(x)-\frac{1}{5}e^{x}.

Resposta

h'(x)=\frac{\cos(x)}{4}-\frac{\sin(x)}{3}-\frac{e^{x}}{5}

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