Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. A função dada é
Pergunta concreta: calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Regras básicas que vou usar (explicadas de forma direta):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
Isto significa que posso derivar termo a termo.
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada. Se
é constante,
Isto é útil para termos como
.
Passo 3
Derivadas das funções elementares que aparecem (essas são fórmulas padrão; explico o porquê em seguida):
- A derivada do seno é o cosseno:
Intuição rápida: pequenas variações em
movem o seno, e a taxa de variação instantânea do seno é dada pelo cosseno.
- A derivada do cosseno é o negativo do seno:
- A derivada da exponencial
é ela mesma:
Cada fórmula indica como a função muda instantaneamente com
.
Passo 4
Agora aplico a linearidade (soma e fator constante) ao
. Escrevo a derivada termo a termo:
Usando a regra do fator constante (cada constante sai da derivada):
Passo 5
Substituo as derivadas das funções elementares que listei no Passo 3:
-
, então o primeiro termo vira . -
, então o segundo termo vira . -
, então o terceiro termo vira .
Portanto,