Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
h(u)=e^{u}-\cos (u)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações do problema são:
  • A função é h(u)=e^{u}-\cos(u).
  • Queremos encontrar a derivada de h em relação a u, ou seja \dfrac{dh}{du}.

Passo 2

Vamos lembrar regras básicas de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da derivada: para duas funções f e g e constante c, \frac{d}{du}\bigl(f(u)+g(u)\bigr)=\frac{df}{du}+\frac{dg}{du}, \qquad \frac{d}{du}\bigl(c\cdot f(u)\bigr)=c\cdot\frac{df}{du}.Isso significa que posso derivar termo a termo e puxar constantes para fora.
  • Derivada da exponencial: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} novamente: \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.Intuição curta: a função exponencial cresce de forma proporcional a si mesma; formalmente também pode-se ver isso pela série de Taylor de e^{u}.
  • Derivada do cosseno: a derivada de \cos(u) é -\sin(u): \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).Então, pela regra da constante multiplicativa, a derivada de -\cos(u) será o negativo de \frac{d}{du}\cos(u).

Passo 3

Aplicando a linearidade à função h(u)=e^{u}-\cos(u), escrevemos a derivada como soma das derivadas dos termos:
\frac{dh}{du}=\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)-\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr).

Passo 4

Calcular cada derivada separadamente usando as fórmulas lembradas:
  • Para o primeiro termo: \frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}.
  • Para o segundo termo: \frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\sin(u).Então, como havia um sinal negativo na função original, temos -\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\bigl(-\sin(u)\bigr)=\sin(u).

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos:
\frac{dh}{du}=e^{u}+\sin(u).
Essa é a forma simplificada e final da derivada. Se estiver fazendo à mão na prova: lembre-se de separar termos, aplicar linearidade e usar as fórmulas básicas que resumimos — é rápido e seguro.

Resposta

\dfrac{dh}{du}=e^{u}+\sin(u)

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