Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=4 x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado pede para calcular a derivada da função g(x)=4x.
  • Informação dada: é uma função linear multiplicada por uma constante 4. Não há outras restrições informadas.

Passo 2

Definição de derivada (a fórmula que usamos) e o que cada símbolo significa.
  • A derivada de uma função g num ponto x é definida por
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
  • Aqui h é um incremento pequeno na variável x. A expressão \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} é a taxa média de variação de g entre x e x+h. Quando fazemos o limite h\to0, obtemos a taxa instantânea de variação, que é a derivada.

Passo 3

Aplicar a definição de derivada à função g(x)=4x passo a passo, sem pular etapas.
  • Primeiro calcule g(x+h):
g(x+h)=4(x+h)=4x+4h.
  • Subtrair g(x):
g(x+h)-g(x)=(4x+4h)-4x=4h.
  • Formar a razão incremental e simplificar:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{4h}{h}=4\quad\text{(para }h\neq0\text{)}.
  • Agora tomar o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to0}4=4.
Portanto, pelo cálculo pelo limite, a derivada é o número 4.

Passo 4

Explicação alternativa usando a regra do múltiplo por constante (útil na prova: método rápido).
  • Regra: se g(x)=a\cdot f(x) com a constante, então
g'(x)=a\cdot f'(x).
  • Aplicando com a=4 e f(x)=x. Sabemos (provando rapidamente pela definição) que
\frac{d}{dx}\,x=1.
  • Logo
g'(x)=4\cdot\frac{d}{dx}\,x=4\cdot1=4.
Essa forma é a que normalmente se usa em provas porque é mais rápida: a derivada de ax é sempre a.

Passo 5

Interpretação, exemplos e dica prática.
  • Interpretação geométrica: g(x)=4x é uma reta com inclinação 4; a derivada constante 4 é justamente essa inclinação.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • Se h(x)=7x então h'(x)=7.
    • Se p(x)=-3x então p'(x)=-3.
  • Dica para a prova: ao ver uma função do tipo a x reconheça imediatamente que a derivada é a. Se tiver tempo, pode também justificar rapidamente pela definição de limite como fizemos no Passo 3.

Resposta

g'(x)=4

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