Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- O enunciado pede para calcular a derivada da função
. - Informação dada: é uma função linear multiplicada por uma constante
. Não há outras restrições informadas.
Passo 2
Definição de derivada (a fórmula que usamos) e o que cada símbolo significa.
- A derivada de uma função
num ponto é definida por
- Aqui
é um incremento pequeno na variável . A expressão é a taxa média de variação de entre e . Quando fazemos o limite , obtemos a taxa instantânea de variação, que é a derivada.
Passo 3
Aplicar a definição de derivada à função
passo a passo, sem pular etapas.
- Primeiro calcule
:
- Subtrair
:
- Formar a razão incremental e simplificar:
- Agora tomar o limite quando
:
Portanto, pelo cálculo pelo limite, a derivada é o número
.
Passo 4
Explicação alternativa usando a regra do múltiplo por constante (útil na prova: método rápido).
- Regra: se
com constante, então
- Aplicando com
e . Sabemos (provando rapidamente pela definição) que
- Logo
Essa forma é a que normalmente se usa em provas porque é mais rápida: a derivada de
é sempre
.
Passo 5
Interpretação, exemplos e dica prática.
- Interpretação geométrica:
é uma reta com inclinação ; a derivada constante é justamente essa inclinação. - Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então . - Se
então .
- Se
- Dica para a prova: ao ver uma função do tipo
reconheça imediatamente que a derivada é . Se tiver tempo, pode também justificar rapidamente pela definição de limite como fizemos no Passo 3.