Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=e^{x} \cdot \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{x}\cdot \operatorname{sen}(x).
  • Pede-se f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Usaremos a regra do produto. A regra do produto diz que, se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada de u(x)\cdot v(x) é
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}. Em palavras: derivar o primeiro mantendo o segundo, mais manter o primeiro e derivar o segundo.

Passo 3

Identificamos as duas funções que se multiplicam:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(x).
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
  • Regra para e^{x}: a derivada de e^{x} é ela mesma. Ou seja,
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicação curta: e^{x} é a única função cujo crescimento é igual ao próprio valor — por isso a derivada é e^{x}.
  • Derivada de \operatorname{sen}(x): usamos a regra da cadeia, que diz que se g(x)=\operatorname{sen}(h(x)) então g'(x)=\operatorname{cos}(h(x))\cdot h'(x). No nosso caso h(x)=x, cujo h'(x)=1. Portanto
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{cos}(x).
Observação: aqui a regra da cadeia é trivial porque o “interior” é x (identidade), mas é bom saber a fórmula geral para casos mais complicados.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:
f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=e^{x}\cdot \operatorname{sen}(x) + e^{x}\cdot \operatorname{cos}(x).

Passo 5

Podemos factorar e^{x} para escrever a resposta numa forma mais compacta:
f'(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x)+\operatorname{cos}(x)\bigr).

Passo 6

Dica prática para a prova (passo a passo que dá ponto): 1) identifique u e v; 2) calcule u' e v' claramente; 3) aplique (uv)'=u'v+uv'; 4) simplifique (fatorando se fizer sentido). Fazendo isso e escrevendo cada linha, o raciocínio fica claro e ganho de pontos é quase certo. Força — você consegue!

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x)+\operatorname{cos}(x)\bigr)

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