Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Pede-se
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Usaremos a regra do produto. A regra do produto diz que, se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada de
é
Aqui
significa
e
significa
. Em palavras: derivar o primeiro mantendo o segundo, mais manter o primeiro e derivar o segundo.
Passo 3
Identificamos as duas funções que se multiplicam:
Agora calculamos
e
.
- Regra para
: a derivada de é ela mesma. Ou seja,
Explicação curta:
é a única função cujo crescimento é igual ao próprio valor — por isso a derivada é
.
- Derivada de
: usamos a regra da cadeia, que diz que se então . No nosso caso , cujo . Portanto
Observação: aqui a regra da cadeia é trivial porque o “interior” é
(identidade), mas é bom saber a fórmula geral para casos mais complicados.
Passo 4
Aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:
Substituindo
:
Passo 5
Podemos factorar
para escrever a resposta numa forma mais compacta:
Passo 6
Dica prática para a prova (passo a passo que dá ponto): 1) identifique
e
; 2) calcule
e
claramente; 3) aplique
; 4) simplifique (fatorando se fizer sentido). Fazendo isso e escrevendo cada linha, o raciocínio fica claro e ganho de pontos é quase certo. Força — você consegue!