Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(o)
(o)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas relevantes:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Qual método usar (explicitação do porquê): a função está escrita como quociente de duas funções (numerador dividido por denominador). Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Além disso, o numerador é uma função composta
, então dentro da aplicação da regra do quociente precisaremos também da regra da cadeia para derivar o numerador.
Vou anotar as fórmulas que vou usar (e explicar cada uma):
- Regra do quociente: se
e são diferenciáveis e , então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: primeiro deriva-se a função externa
avaliando-a em
, depois multiplica-se pela derivada da função interna
.
Também preciso da derivada da função tangente: se
, então
. Ou seja,
Passo 3
Defino
e
. Vou calcular
e
separadamente.
Derivada do denominador
:
Isso é direto: a derivada de
é
e a derivada de constante
é
.
Derivada do numerador
usando regra da cadeia:
- A função externa é
com . - A função interna é
com .
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente
com os
,
,
,
que calculei.
Substituindo:
Vou simplificar o numerador passo a passo. Primeiro o produto do primeiro termo:
O segundo termo no numerador é
.
Logo o numerador fica
Observação algébrica:
, então podemos reescrever
se preferir. O denominador
.
Portanto uma forma limpa para a derivada é
Passo 5
Opcional — apresentar a mesma resposta com denominação mais simétrica: trocando
por
(igual numericamente),