Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(o) b(x)=\frac{\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)}{-x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
b(x)=\frac{\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)}{-x+1}.
Informações dadas relevantes:
  • O numerador é \operatorname{tg}\left(x^{2}\right).
  • O denominador é -x+1.
  • A tarefa é encontrar b'(x), a derivada de b em função de x.

Passo 2

Qual método usar (explicitação do porquê): a função está escrita como quociente de duas funções (numerador dividido por denominador). Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Além disso, o numerador é uma função composta \operatorname{tg}\big(x^{2}\big), então dentro da aplicação da regra do quociente precisaremos também da regra da cadeia para derivar o numerador.
Vou anotar as fórmulas que vou usar (e explicar cada uma):
  • Regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u' é a derivada de u e v' a derivada de v.
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: primeiro deriva-se a função externa f avaliando-a em g(x), depois multiplica-se pela derivada da função interna g.
Também preciso da derivada da função tangente: se f(t)=\tan(t), então f'(t)=\operatorname{sec}^{2}(t). Ou seja,
\frac{d}{dt}\operatorname{tg}(t)=\operatorname{sec}^{2}(t).

Passo 3

Defino u(x)=\operatorname{tg}\big(x^{2}\big) e v(x)=-x+1. Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.
Derivada do denominador v:
v(x)=-x+1 \quad\Rightarrow\quad v'(x)=-1.
Isso é direto: a derivada de -x é -1 e a derivada de constante 1 é 0.
Derivada do numerador u usando regra da cadeia:
  • A função externa é f(t)=\operatorname{tg}(t) com f'(t)=\operatorname{sec}^{2}(t).
  • A função interna é g(x)=x^{2} com g'(x)=2x.
    Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)\cdot 2x.
Portanto
u'(x)=2x\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big).

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente \big(\tfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} com os u, u', v, v' que calculei.
Substituindo:
b'(x)=\frac{\,\big(2x\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)\big)\cdot(-x+1)\;-\;\operatorname{tg}\big(x^{2}\big)\cdot(-1)\,}{(-x+1)^{2}}.
Vou simplificar o numerador passo a passo. Primeiro o produto do primeiro termo:
\big(2x\,\operatorname{sec}^{2}(x^{2})\big)(-x+1)=2x(-x+1)\operatorname{sec}^{2}(x^{2}).
O segundo termo no numerador é -\operatorname{tg}(x^{2})\cdot(-1)=+\operatorname{tg}(x^{2}).
Logo o numerador fica
2x(-x+1)\operatorname{sec}^{2}(x^{2})+\operatorname{tg}(x^{2}).
Observação algébrica: -x+1=1-x, então podemos reescrever 2x(-x+1)=2x(1-x) se preferir. O denominador (-x+1)^{2}=(1-x)^{2}.
Portanto uma forma limpa para a derivada é
b'(x)=\frac{2x(1-x)\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)+\operatorname{tg}\big(x^{2}\big)}{(-x+1)^{2}}.

Passo 5

Opcional — apresentar a mesma resposta com denominação mais simétrica: trocando (-x+1)^{2} por (1-x)^{2} (igual numericamente),
b'(x)=\frac{2x(1-x)\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)+\operatorname{tg}\big(x^{2}\big)}{(1-x)^{2}}.

Resposta

b'(x)=\frac{2x(1-x)\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)+\operatorname{tg}\big(x^{2}\big)}{(-x+1)^{2}}

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