Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
§ c(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(-x^{2}+1\right)}{x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função c dada por
c(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(-x^{2}+1\right)}{x^{3}+2}.
O que temos:
  • Numerador: \operatorname{sen}\bigl(-x^{2}+1\bigr).
  • Denominador: x^{3}+2.
    A tarefa é encontrar c'(x), a derivada de c em termos de x.

Passo 2

Vamos lidar primeiro com a derivada do numerador. Aqui entra a regra da cadeia: quando temos uma função composta \operatorname{sen}(u(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(u(x))\bigr]=\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando devagar: \operatorname{sen} é a função externa e u(x) é a função interna. Deriva-se a externa avaliando em u(x) e multiplicando pela derivada da interna.
No nosso caso a função interna é
u(x)=-x^{2}+1.
Derivando u(x) pelo regra do poder:
u'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2}+1)=-2x.
Agora aplicando a regra da cadeia ao numerador:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(-x^{2}+1)\bigr]=\operatorname{cos}(-x^{2}+1)\cdot(-2x).
Observação útil (opcional): \operatorname{cos}(-x^{2}+1)=\operatorname{cos}(1-x^{2}) e, como \operatorname{cos} é par, também \operatorname{cos}(1-x^{2})=\operatorname{cos}(x^{2}-1). Mas não é necessário usar essa identidade para continuar.

Passo 3

Agora tratamos a derivada do denominador. O denominador é a função
v(x)=x^{3}+2.
Derivando pelo regra do poder:
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}+2)=3x^{2}.

Passo 4

Temos tudo para aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
c(x)=\frac{N(x)}{D(x)},
a derivada é
c'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}}.
Aqui N(x)=\operatorname{sen}(-x^{2}+1) e D(x)=x^{3}+2. Já calculamos N'(x) e D'(x):
N'(x)=\operatorname{cos}(-x^{2}+1)\cdot(-2x),\qquad D'(x)=3x^{2}.
Substituindo na fórmula do quociente:
c'(x)=\frac{\bigl(\operatorname{cos}(-x^{2}+1)\cdot(-2x)\bigr)\,(x^{3}+2)-\operatorname{sen}(-x^{2}+1)\cdot 3x^{2}}{(x^{3}+2)^{2}}.

Passo 5

Vamos organizar e, se quiser, fazer uma fatoração simples para deixar a expressão mais limpa. A expressão já está correta, mas podemos, por exemplo, colocar o fator -2x em evidência no primeiro termo do numerador ou fatorar x em comum. Mantendo a escrita clara:
c'(x)=\frac{-2x\,(x^{3}+2)\,\operatorname{cos}(-x^{2}+1)-3x^{2}\,\operatorname{sen}(-x^{2}+1)}{(x^{3}+2)^{2}}.
Se preferir usar a simetria da \operatorname{cos} mencionada antes, uma forma alternativa equivalente é
c'(x)=\frac{-2x\,(x^{3}+2)\,\operatorname{cos}(x^{2}-1)-3x^{2}\,\operatorname{sen}(1-x^{2})}{(x^{3}+2)^{2}},
lembrando que \operatorname{sen}(1-x^{2})=-\operatorname{sen}(x^{2}-1) se quiser unificar sinais.

Resposta

c'(x)=\frac{-2x\,(x^{3}+2)\,\operatorname{cos}(-x^{2}+1)-3x^{2}\,\operatorname{sen}(-x^{2}+1)}{(x^{3}+2)^{2}}

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