Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
§
§
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
O que temos:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é encontrar, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos lidar primeiro com a derivada do numerador. Aqui entra a regra da cadeia: quando temos uma função composta
, a derivada é
Explicando devagar:
é a função externa e
é a função interna. Deriva-se a externa avaliando em
e multiplicando pela derivada da interna.
No nosso caso a função interna é
Derivando
pelo regra do poder:
Agora aplicando a regra da cadeia ao numerador:
Observação útil (opcional):
e, como
é par, também
. Mas não é necessário usar essa identidade para continuar.
Passo 3
Agora tratamos a derivada do denominador. O denominador é a função
Derivando pelo regra do poder:
Passo 4
Temos tudo para aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
a derivada é
Aqui
e
. Já calculamos
e
:
Substituindo na fórmula do quociente:
Passo 5
Vamos organizar e, se quiser, fazer uma fatoração simples para deixar a expressão mais limpa. A expressão já está correta, mas podemos, por exemplo, colocar o fator
em evidência no primeiro termo do numerador ou fatorar
em comum. Mantendo a escrita clara:
Se preferir usar a simetria da
mencionada antes, uma forma alternativa equivalente é
lembrando que
se quiser unificar sinais.